Questão 9

IME 2012

Física

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

A figura acima representa um sistema, inicialmente em equilíbrio mecânico e termodinâmico, constituído por um recipiente cilíndrico com um gás ideal, um êmbolo e uma mola. O êmbolo confina o gás dentro do recipiente. Na condição inicial, a mola, conectada ao êmbolo e ao ponto fixo A, não exerce força sobre o êmbolo. Após 3520 J de calor serem fornecidos ao gás, o sistema atinge um novo estado de equilíbrio mecânico e termodinâmico, ficando o êmbolo a uma altura de 1,2 m em relação à base do cilindro. Determine a pressão e a temperatura do gás ideal:

a) na condição inicial;

b) no novo estado de equilíbrio.

Observação:

• Considere que não existe atrito entre o cilindro e o êmbolo.

Dados:

• Massa do gás ideal: 0,01 kg;

• Calor específico a volume constante do gás ideal: 1.000 J/kg.K;

• Altura inicial do êmbolo em relação à base do cilindro: X1 = 1 m;

• Área da base do êmbolo: 0,01 m² ;

• Constante elástica da mola: 4.000 N/m;

• Massa do êmbolo: 20 kg;

• Aceleração da gravidade: 10 m/s² ; e

• Pressão atmosférica: 100.000 Pa.

Gabarito:

Resolução:

Em cada caso a força resultante deve ser nula para que haja equilíbrio.

Na primeira situação:

$F_{1} = P_{E} + F_{AR}$

$oxed { ho _{1} cdot A = M cdot g + ho_{ATM} cdot A}$

$F_{2} = P_{E} + F_{AR} + F_{el}$

$oxed { ho _{2} cdot A = M cdot g + ho _{ATM} cdot A + k (X_{2} - X_{1})}$

Efetuando os cálculos, obtemos:

$oxed{ ho _{1} = 1,2 cdot 10^{5} Pa}$

$oxed{ ho _{2} = 2 cdot 10^{5} Pa}$

Em ambas as situações o número de mols de gás dentro do êmbolo é igual. Aplicando Claperyon:

$frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}$

$frac{p_{1} cdot A cdot x_{1}}{T_{1}} = frac{p_{2} cdot A cdot x_{2}}{T_{2}}$

$frac{T_{2} }{T_{1}} = frac{p_{2}}{p_{1} } cdot frac{x_{2}}{x_{1}} = frac{2 cdot 10^{5}}{1,2 cdot 10^{5}} cdot frac{1,2}{1} = 2$

$T_{2} = 2T_{1}$

Pelo teorema trabalho-energia:

$W = Delta E_{c}$

$W_{gas} + W_{p} + W_{ar} +W _{mola} = 0$

$W_{gas} - M g (x_{2} - x_{1} ) - p_{atm} cdot (x_{2} - x_{1}) - frac{k (x_{2} - x_{1})^{2}}{2}= 0$

$W_{gas} = 320 J$

Da Primeira Lei da TErmodinâmica:

$Q = W_{gas} + Delta U$

$3520 - 320 = Delta U Rightarrow Delta U = 3200 J$

Num processo a volume constante:

$Delta U = Q_{v} = m c_{v} (T_{2} - T_{1})$

$3200 = 0,01 cdot 10^{3} (T_{2} - T_{1})$

$T_{2} - T_{1} = 320 K$

Assim temos o sistema formado por essas duas equações:

$T_{2} = 2T_{1} e T_{2} - T_{1} = 320 K$

Resolvendo:

$T_{1 } = 320 K e T_{2} = 640 K$

Assim, o gabarito é:

a) $oxed {p_{1} = 1,2 cdot 10^{5} Pa}$

$oxed {T_{1 } = 320 K}$

b) $oxed {p_{2} = 2 cdot 10^{5} Pa}$

$oxed {T_{2} = 640 K}$

Questões relacionadas

Questão 17

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Um foguete de brinquedo voa na direção e sentido indicados pela figura com velocidade constante . Durante todo o voo, um par de espelhos, composto por...

Questão 19

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Um corpo de 300 g de massa é lançado de uma altura de 2,20 m em relação ao chão como mostrado na figura acima. O vetor velocidade inic...

Questão 22

[IME - 2012/2013 - 1a fase] A figura acima apresenta uma partícula com velocidade v, carga q e massa m penetrando perpendicularmente em um ambiente submetido a um campo magnético B. U...

Questão 23

[IME - 2012/2013 - 1a fase] Em certos problemas relacionados ao escoamento de fluidos no interior de dutos, encontram-se expressões do tipo: A grandeza possui a mesma dimens&ati...