Questão 7

IME 2012

Física

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Um planeta desloca-se em torno de uma estrela de massa M, em uma órbita elíptica de semi-eixos a e b (a > b). Considere a estrela fixa em um dos focos. Determine as velocidades mínima e máxima do planeta.

Dados:

• constante gravitacional: G;

• distância entre os focos: 2c.

Gabarito:

Resolução:

Sabendo que a energia total é dada por:

$E = - frac{GMm}{2a}$

A energia cinética máxima é obtida no momento em que a potencial é mínima e vice-versa. Portanto:

$- frac{GMm}{2a} = -frac{GMm}{r} + frac{1}{2} mv^{2}$

(I) Mínima:

$-frac{GM}{2a} = -frac{GM}{c+a} + frac{1}{2}v^{2}$

$-GM ( frac{1}{2a} - frac{1}{c+a}) = frac{1}{2} v^{2}$

$- frac{GM(c-a)}{2a(c+a)} = frac{1}{2} v^{2}$

$-frac{GM(c-a)}{2a(c+a)} = frac{1}{2}v^{2}$

$v_{min} = sqrt{frac{GM(a-c)}{a(a+c)}}$

(II) Máxima:

$-frac{GM}{2a} m = -frac{GM}{(a-c)} m + frac{1}{2} m v^{2}$

$-GM(frac{1}{2a} - frac{1}{a-c}) = frac{1}{2}v^{2}$

$-GM(frac{a-c-2a}{2a(a-c)}) = frac{1}{2}v^{2}$

$v_{max} = sqrt{frac{GM(a+c)}{a(a-c)}}$

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