Questão 4

IME 2012

Física

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Existe um intervalo mínimo de tempo entre dois sons, conhecido como limiar de fusão, para que estes sejam percebidos pelo ouvido humano como sons separados. Um bloco desliza para baixo, a partir do repouso, em um plano inclinado com ressaltos igualmente espaçados que produzem ruídos. Desprezando o atrito do bloco com o plano inclinado e a força exercida pelos ressaltos sobre o bloco, determine o limiar de fusão $au$ de uma pessoa que escuta um ruído contínuo após o bloco passar pelo enésimo ressalto.

Observação: Despreze o tempo de propagação do som.

Dados:

ângulo do plano inclinado com a horizontal: $heta$ ;
aceleração da gravidade: g;
distância entre os ressaltos: d.

Gabarito:

Resolução:

Ao sair do primeiro ressalto, adotando o ponto como a origem dos espaços, nenhum som é emitido. O diagrama a seguir mostra as posições dos sucessivos ressaltos, separados por d:

Entre os pontos A e B, ressaltos (n-1)º e nº, respectivamente, o som ainda não é emitido de forma contínua. Portanto, o intervalo de tempo entre esses pontos é maior que o limiar de fusão $au$ .

$Delta t _{AB} > au$

Entre B e C, ressaltos nº e (n+1)º, respectivamente, o som já é emitido de forma contínua. Assim, o intervalo entre esses pontos é menor ou igual que o limiar de fusão:

$Delta t _{BC} leq au$

Portanto:

$Delta t_{BC} leq au leq Delta t_{AB}$

A aceleração escalar do bloco pode ser obtida normalmente, uma vez que o bloco desce um plano inclinado livre de atritos:

$a = g sen heta$

Da função horária do espaço no MUV:

$t = sqrt{frac{2S}{a}}$

Aplicando as equações de espaço nos pontos A,B e C:

$t_{A} = sqrt{frac{2(n-2)d}{a}}$

$t_{B} = sqrt{frac{2(n-1)d}{a}}$

Assim:

$Delta t_{AB} = t_{B} - t_{A} = sqrt{frac{2nd}{a}} ( sqrt{n-1} - sqrt{n-2})$

Analogamente:

$t_{B} = sqrt{frac{2(n-1)d}{a}}$

$t_{C} = sqrt{frac{2nd}{a}}$

Assim:

$Delta t_{BC} = t_{C} - t_{B} = sqrt{frac{2nd}{a}} ( sqrt{n} - sqrt{n-1})$

Substituindo tudo na inequação:

$sqrt{frac{2nd}{g sen heta}}(sqrt{n}- sqrt{n-1}) leq au < (sqrt{frac{2nd}{gsen heta}}) (sqrt{n-1} - sqrt{n-2})$

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