Questão 1

IME 2012

Física

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Um corpo de 4 kg está preso a um fio e descreve um movimento circular em um plano perpendicular ao solo. Na posição indicada na figura, ele sofre a ação de uma força, no plano xy, perpendicular ao seu movimento que o libera do fio, sendo o impulso nesta direção igual a .

Determine:

a) a variação do vetor momento linear entre o instante em que o corpo é liberado do fio e o instante que atinge o solo;

b) a coordenada x do ponto onde o corpo atinge o solo.

Dados:

raio do movimento circular: 6,4 m;

velocidade do corpo preso no fio no ponto mais alto: 6 m/s;

aceleração da gravidade: 10 m/s².

Gabarito:

Resolução:

a) Em primeira análise, cabe calcular a velocidade inicial do corpo quando ele se encontra no ponto de liberação do fio. Para isso, podemos usar do Princípio de Conservação da Energia Mecânica:

$frac{1}{2} m v_{topo}^{2} + 2R cdot mg = frac{1}{2} mv_{0}^{2} + mg (R + R cdot sen 30 ^{circ})$

$frac{1}{2} v_{topo}^{2} + 2gR = frac{1}{2} v_{0}^{2} + frac{3}{2} cdot gR$

$v_{0}^{2} = v_{topo} ^{2} + gR$

$v_{0}^{2} = 6^{2} + 10 cdot 6,4$

$v_{0} = sqrt{100} = 10 m/s$

Sabemos que o impulso aplicado no ponto gera uma variação na quantidade de movimento, o momento linear $p_{0}$ após o corpo ser solto pelo fio será a soma vetorial do momento linear $mv_{0} (sen 30^{circ} cdot hat{i} - cos 30^{circ} cdot hat{j})$ que o corpo já possuía na trajetória do MCU com o impulso que foi aplicado: $I = 40sqrt{3} (frac{sqrt{3}}{2} cdot hat{i} + frac{1}{2} cdot hat{j}) kg cdot m/s .$ Ou seja:

$p_{0} = 40sqrt{3} (cos 30^{circ} cdot hat {i} + sen 30^{circ} cdot hat{j}) + mv_{0} (sen 30 ^{circ} cdot hat{i} - cos 30^{circ} cdot hat{j})$

$p_{0} = 40sqrt{3} (frac{sqrt{3}}{2} cdot hat{i} + frac{1}{2} hat{j}) + 4 cdot 10 (frac{1}{2} cdot cdot hat{i} - frac{sqrt{3}}{2} cdot hat {j}) = 80 cdot hat{i} kg cdot m/s$

Portanto, no instante em que o corpo é liberado não existe momento nem velocidade no eixo y (direção j), e o corpo estará sujeito a um simples lançamento horizontal.

Entre o instante de lançamento e o instante em que o corpo chega ao solo a única força atuante sobre ele é o próprio peso. O teorema do impulso nos garante que a variação do momento linear será igual ao impulso da força resultante:

$Delta p = P cdot Delta t$