Questão 7
IME 2009
(IME - 2009/2010) A figura ilustra um plano inclinado com ângulo θ = 30o cuja superfície apresenta atrito. Um bloco de massa m = 1 kg, carregado eletricamente com a carga negativa q = 10-2 C, apresenta velocidade inicial v0 = 2 m/s e realiza um movimento retilíneo sobre o eixo x (paralelo ao plano horizontal) a partir do instante t = 0. Além disso, este bloco se encontra submetido à força constante F = 4,5 N na direção x e a um campo magnético B = 100 T normal à superfície (direção z). Considerando que o gráfico ilustra o trabalho da força resultante R que age sobre o bloco em função da distância percorrida, determine:
a) o tempo gasto e a velocidade do bloco após percorrer 60 m;
b) os gráficos das componentes da força de atrito (direções x e y) em função do tempo até o bloco percorrer 60 m. Dado: aceleração da gravidade: g = 10 m/s2
Gabarito:
Resolução:
a) Quem realiza trabalho são apenas , pois todas as outras forças atuam perpendicularmente ao deslocamento do bloco. Portanto, o trabalho resultante pode ser obtido pela resultante entre essas duas forças:
Pelo gráfico que a questão trouxe é possível montar a seguinte relação:
Portanto:
Substituindo na primeira equação, chegamos à:
Na direção x temos um movimento acelerado:
Para percorrer 60 metros:
Pela equação horária da velocidade podemos encontrar a velocidade ao final dos 12 segundos:
b) O atrito em x é constante e descobrimos que vale 4 N. Portanto, o gráfico será uma reta y = -4. O sinal negativo é oriundo do referencial adotado por nós no diagrama.
Em y temos um equilíbrio de translação, portanto a força resultante nessa direção deve ser nula.
Há duas hipóteses a serem analisadas para o sentido do campo magnético. Na primeira, analisamos o sentido do campo contrário ao eixo z, e na segunda analisamos o sentido do campo concordando com o sentido do eixo z.
Sendo assim, no primeiro caso, a componente da força peso paralela ao bloco, Px no nosso desenho, terá mesmo sentido da força magnética - sentido negativo do eixo y - e a força de atrito terá o sentido oposto - sentido positivo do eixo y.
Isso nos leva à expressão do equilíbrio da seguinte forma:
Portanto, o gráfico será de uma reta crescente y = 7 + 0,5t.
No segundo caso, a força magnética terá sentido concordando com o sentido do eixo y. A componente do peso na direção do eixo y, que chamamos de Px no desenho, continua tendo o mesmo sentido.
A força Peso é constante, portanto, a componente Px e constante e tem valor igual a 5 N.
A força magnética tem valor que varia linearmente com a velocidade, no intervalo de velocidades já analisado, o valor da força magnética vai de 2 N a 8 N.
Isso implica que inicialmente a força de atrito terá valor inicial 3N e sentido que concorda com o do eixo y e o valor irá diminuir a uma taxa de 0,5 N/s.
Depois a força de atrito passa a aumentar no sentido contrário do que possuia inicialmente - já que a força magnética passa a ter módulo maior que a componente Px. No final, a força de atrito terá valor 3 N, porém o sentido terá sido invertido. A expressão que melhor representa o módulo da força de atrito será
- o módulo decresce inicialmente, depois há uma inversão de sentido para a força e o seu módulo torna a crescer.