Questão 38209

IME 2006

Matemática

Considere o sistema de equações dado por :

$left{egin{matrix} x+ &y+ &2z = b_{1} \ 2x-&y+ &3z = b_{2} \ 5x-&y+ &az = b_{3} end{matrix} ight.$

Sendo $b_{1}, b_{2},b_{3}$ valores reais quaisquer, a condição para que o sistema possua infinitas soluções é :

$a=8, b_{3} eq b_{1}+2b_{2}$

$a=8, b_{3} = b_{1}+2b_{2}$

$a=8, b_{1} = b_{3}+2b_{2}$

$a = 12, b_{1} = b_{3}+2b_{2}$

$a=12, b_{3} = b_{1}+2b_{2}$

Gabarito:

$a=8, b_{3} = b_{1}+2b_{2}$

Resolução:

Queremos que o sistema seja SPI.

Vou resolver escalonando o sistema, mas poderia ser feito calculando o determinante, achando o valor de a e escalonando o sistema para encontrar os valores de b1,b2 e b3.

$left{egin{matrix} x+ &y+ &2z = b_{1} \ 2x-&y+ &3z = b_{2} \ 5x-&y+ &az = b_{3} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} x+ &y+ &2z = b_{1} \ &-3y+ &-z =-2b_{1}+ b_{2} \ &-6y+ &(a-10)z = -5b_{1}+b_{3} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} x+ &y+ &2z = b_{1} \ &-3y+ &-z =-2b_{1}+ b_{2} \ & &(a-8)z = -b_{1}-2b_{2}+b_{3} end{matrix} ight.$

Logo, para um sistema SPI, temos:

$a = 8$ e $b_{3} = b_{1}+2b_{2}$

Questões relacionadas

Questão 33505

(IME - 2016 - 1a FASE) Um trapézio ABCD, de base menor AB e base maior CD, possui base média MN. Os pontos M' e N' dividem a base média em três segmentos iguais...

Ver questão

Questão 34005

(IME - 2005/2006 - 1ª FASE) Sejam e termos de uma sequência. Determine, em função de n, os valores de r e s que tornam esta sequência em uma PA, tal que...

Ver questão

Questão 36725

[IME- 2006/2007] Sejam C e C* dois círculos tangentes exteriores de raios r e r* e centros O e O*, respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a C e C* nos pontos não coincidentes...

Ver questão

Questão 66730

(IME - 2006/2007 - 2 FASE) Considere as matrizes e , e seja P uma matriz inversível tal que . Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz .

Ver questão