Questão 56569

IFAL 2017

Matemática

O termo independente no desenvolvimento do binômio

$left(2x^2-frac{3}{x^3} ight )^5$

-720.

-360.

360.

720.

Gabarito:

720.

Resolução:

Utilizando a fórmula do termo geral, temos:

$T_{k+1}=inom{n}{k}cdot a^{n-k}cdot b^k=inom{5}{k}cdotleft(2x^2 ight )^{5-k}cdotleft(frac{-3}{x^3} ight )^k=inom{5}{k}cdot2^{5-k}cdot x^{10-2k}cdot -3^kcdot x^{-3k}$

$T_{k+1}=inom{5}{k}cdot2^{5-k}cdot x^{10-2k}cdot -3^kcdot x^{-3k}=inom{5}{k}cdot -3^kcdot 2^{5-k}cdot x^{10-5k}$

Igualando o expoente a zero, pois procuramos o termo independente de x, temos:

10 - 5k = 0 => k = 2.

Logo, o termo independente é o terceiro termo, pois T_k+1 = T₂₊₁ = T₃.

Dessa maneira:

$T_{3}=inom{5}{2}cdot -3^2cdot 2^{5-2}cdot x^{10-5cdot2}=frac{5cdot4cdot3!}{2!cdot3!}cdot9cdot8cdot x^{0}=10cdot9cdot8=720$ .

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