Questão 6

FUVEST 2023

Matemática

(FUVEST - 2023)

Um número complexo é da forma $z= x+yi$ , onde $x,y epsilon mathbb{R}$ e $i^{2}=-1$ .

a) Determine o valor de $b epsilon mathbb{R}$ para que a parte real do número complexo $frac{2+bi}{1+i}$ seja igual a zero.

b) Determine a solução da equação $|z| -z = 1 + 2i$ .

c) Determine o valor de $a epsilon mathbb{R}, a eq 0$ , para que a equação

$azoverline{z} + (1+i)z + overline{(1+i)}z+1=0$

descreva uma circunferência no plano cartesiano.

Gabarito:

Resolução:

$frac{2+bi}{1+i} . frac{1-i}{1-i} = frac{2 - 2i + bi -bi^{2}}{1 - i^{2}} = frac{(2 + b)+(b -2)i }{2} =$

Temos que a parte real seja zero, com isso:

$\ frac{2 + b }{2} = 0 \ \ b = -2$

$| z| - z = 1 + 2i \ \ sqrt{x^{2}+ y^{2}} - (x+yi) = 1 + 2i \ \ sqrt{x^{2} + y^{2}} -x -yi = 1 + 2 i \ \$

Temos que a parte imaginária:

$\ -yi = 2i \ \ y = -2$

E a parte real, temos:

$\ sqrt{x^{2}+ y^{2}} - x = 1 \ \ sqrt{x^{2}+ y^{2}}^{2} = (x + 1)^{2} \ \ x^{2} + y^{2} = x^{2} + 2x + 1 \ \ y^{2} = 2x + 1 \ \ 4 = 2x + 1 \ \ x = frac{3}{2}$

Temos a solução {3/2; -2}

$\ a.z.ar{z} + (1 + i).z + ar{(1+i).z} + 1 = 0 \ \ a(x+yi)(x-yi) + (1+i)(x+yi) + (1-i)(x-yi) + 1 = 0 \ \ a(x^{2}-y^{2}.i^{2}) + (x+yi+xi+yi^{2}+ x -yi -xi +yi^{2}+ 1) = 0 \ \ ax^{2} + ay^{2} + 2x - 2y + 1 = 0$

Vamos dividir toda essa expressão por a, temos:

$x^{2} + y^{2} +frac{ 2x}{a} - frac{ 2y}{a} + frac{1}{a} = 0$

Temos:

$\ frac{2}{a} = -2x_{0} \ \ x_{0} = frac{-1}{a}$

Além disso:

$\ - frac{2}{a} = -2y_{0} \ \ y_{0} = frac{1}{a}$

Temos que o raio da circunferência é:

$\ R = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - C \ \ R = frac{-1}{a}^{2} + frac{1}{a}^{2} - frac{1}{a} > 0 \ \ R = frac{2}{a^{2}} - frac{1}{a} > 0 \ \ R = frac{2- a}{a^{2}} > 0 \ frac{2- a}{a^{2}} > 0 \ \ 2 - a > 0 \ \ a < 2$

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