Questão 5

FUVEST 2023

Matemática

(FUVEST - 2023)

Segundo as normas da NBR 9077, uma escada deve ter todos os degraus com a mesma altura e a mesma largura. Além disso, indicando por 𝐿 a largura de um degrau e por 𝐴 a sua altura, ambas em centímetros, as seguintes desigualdades devem ser satisfeitas:

$63 leq 2A + L leq 64$

$16 leq A leq 18$

a) Se $A= 16$ , quais são os possíveis valores de L?

b) A altura do primeiro andar de um sobrado é 2,52 metros, medido de um pavimento ao outro. O arquiteto projetou a escada para ter o maior comprimento (soma das larguras dos degraus) possível, respeitando as normas citadas. Dessa forma, quantos degraus terá a escada e qual é a altura e largura de cada um?

c) Quais são o maior e o menor valor possível para a tangente do ângulo de inclinação de uma escada construída de acordo com essa norma?

Note e adote: A figura é meramente ilustrativa e não representa a escada do enunciado.

Gabarito:

Resolução:

$\ 63 leq 32 + L leq 64 \ \ 63 - 32 leq L leq 64 - 32 \ \ 31 leq L leq 32$

$\ 2,52 m = 252 cm \ \ 63 leq 2 A + L leq 64$

Temos que para o L ser máximo, então A deve ser mínimo, podemos observar que o menor A é 16, de acordocom com a inequação abaixo:

$16 leq A leq 18$

Então:

252/16 = 15,75 degraus , o que nos dá o menor valor possível será de 15 degraus.

A = 252/15 = 16, 8

Voltando na expressão:

$63 leq 2 A + L leq 64$

Temos:

$\ 63 leq 33,6 + L leq 64 \ \ 63 - 33,6 leq + L leq 64 - 33,6 \ \ 29,4 leq L leq 30,4$

A altura de cada um será L = 30,4.

C) Podemos pensar em uma escada dessa forma:

Temos que alpha é o ângulo de inclinação:

Maior tangente: Temos a maior tangente quando temos um ângulo maior, com isso a inclinação deve ser grande:

A (máximo) e L for o mínimo: $frac{A_{max}}{L_{min}} = frac{18}{L_min}$

O menor L, podemos achar com

$\ 63 leq 2. 18 + L leq 64 \ \ 27 leq L leq 28$

$frac{A_{max}}{L_{min}} = frac{18}{27} = frac{2}{3}$

Menor tangente: $frac{A_{min}}{L_{max}} = frac{16}{32} = frac{1}{2}$

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