Questão 2

FUVEST 2023

Matemática

(FUVEST - 2023)

Considere $a,b,c epsilon mathbb{R}$ e a função $f: mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ dada por $f(x)= ax^{2}+bx+c$ .

a) Determine os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para que 𝑓(1) = 1, 𝑓(0) = 0 e 𝑓(-1) = 1.

b) Para 𝑎 = -1 e 𝑏 = 4, determine o valor de 𝑐 de modo que a área do triângulo 𝐴𝐵𝑉 da figura seja igual a 32 u.a., onde 𝑉 é o vértice da parábola representada por 𝑓.

c) Considere $g: mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ a função dada por $g(t)= cos t$ . Se 𝑎 = 3 e 𝑐 = -8, determine para quais valores de 𝑏 a equação $f(g(t)) = 0$ possui ao menos uma solução real.

Gabarito:

Resolução:

a) Os valores determinar 𝑎, 𝑏 e 𝑐 vamos aplicar a função o valores 0, 1 e $-1$ :

Para $x=0$

$f(0)=acdot 0^2+bcdot 0+c=0$

$c=0$

Para $x=1$

$f(1)=acdot 1^2+bcdot 1+c=1$

$a+b+c=1$

Para $x=-1$

$f(-1)=acdot (-1)^2+bcdot (-1)+c=1$

$a-b+c=1$

Fazendo um sistema com as três equações:

$left{egin{matrix} a & + & b & + &c &= &1\ a & - & b & + & c &=& 1\ & & & & c&=&0 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} a & + & b & = &1&(I)\ a & - & b & =& 1 &(II)end{matrix} ight.$

$2a=2$

$a=1$

Substituindo o valor de $a$ em $(II)$ :

$1-b=1Rightarrow b=0$

Portanto $a=1$ , $b=c=0$ .

b) Note os vertices do triângulo terão coordenadas $V(x_v,y_v)$ , $A(x_v,0)$ e $B(r,0)$ .

Para 𝑎 = -1 e 𝑏 = 4 temos:

$f(x)=-x^2+4x+c$

Com isso, as raizes da função serão:

$-x^2+4x+c=0$

$frac{-4pm sqrt{16+4c}}{-2}=-2pm sqrt{16+4c}=-2pm sqrt{4+c}$

Quanto ao vertice temos:

$x_v=frac{-4}{-2}=2$

Substituindo o $x_v$ na função podemos achar $y_v$ :

$f(2)=-(2)^2+4cdot 2 +c=-4+8+c=4+c$

Com isso temos que $V(2,4+c)$ , $A(2,0)$ e $B(-2pm sqrt{4+c},0)$

Com isso área será

$A_{VAB}=frac{left ( sqrt{4+c} ight )cdot left ( 4+c ight )}{2}=32$

$left ( sqrt{4+c} ight )cdot (4+c)=64$

$left ( sqrt{4+c} ight )cdot left (sqrt{4+c} ight )^2=64$

$left ( sqrt{4+c} ight )^3=64$

$sqrt{4+c}=4$

$4+c=16$

$c=12$

c) Primerio vamos montar a nova função $f(x)$ :

$f(x)=3x^3+bx-8$

Como $f(g(t))$ é uma função composta temos que aplicar $g(t)$ em $f$ :

$f(g(t))=3cdot cos(t)+bcdot cos(t)-8$

Analisando a função na variavel $cos(t)$ temos que:

$Delta = b^2-4cdot 3cdot (-8)$

$Delta = b^2+96$

Como temos uma soma entre valores positivos o resultado também será positivo, com isso podemos concluir que $f(g(t))$ possui raiz real, porém a função cosseno tem sua imagem restrita ao intervalo $-1leq cos(t)leq 1$ . Além disso, precisamos considerar que o se o produto entre duas imagens for negativo então exite pelo menos uma raiz no intervalo entre elas. Ou seja, precisamos que $f(-1)cdot f(1)leq 0$ para que exista $f(g(t))$ tenha pelo menos uma raiz real: