Questão 1

FUVEST 2023

Matemática

(FUVEST - 2023)

Duas empresas de entrega de mercadorias, 𝐴 e 𝐵, são concorrentes. A empresa 𝐴 cobra R$ 4,00 por quilo da encomenda e mais R$ 30,00 de taxa fixa. Já a tarifa da empresa 𝐵 é de R$ 6,00 por quilo, sem taxa fixa, para encomendas de até 30 quilos; para encomendas de mais de 30 quilos, a empresa 𝐵 cobra R$ 2,00 por quilo, mais uma taxa fixa de R$ 120,00.

a) Dê a expressão da função que descreve a tarifa cobrada pela empresa 𝐴 em termos do peso 𝑥 da encomenda.

b) Para qual intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa 𝐴 do que pela empresa 𝐵?

c) Um cliente solicitou duas encomendas: uma entregue pela empresa 𝐴, e outra, pela empresa 𝐵, com peso total de 200 quilos. Quais são as possíveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas, sabendo que a tarifa de entrega total foi de R$ 850,00?

Gabarito:

Resolução:

Solução:

A) Temos que a função que descreve a tarifa cobrada pela empresa A é:

$V_{A} = 4x + 30$

Porque temos que a empresa A cobra 4 reais por quilo e mais 30 de uma taxa fixa.

B)Temos que para menor que 30kg

$V_{A} < V_{B}$

$V_{A} = 4x + 30$

$V_{B} = 6x$

Portanto: $4x + 30 < 6x$

$30 < 2x$

$x > 15$

Para maior que 30 kg, temos:

$V_{A} = 4x + 30$

$V_{B} = 2x + 120$

$V_{A} < V_{B}$

$4x + 30 < 2x + 120$

$2x < 90$

$x < 45$

Temos que realizar a interseção entre: $x > 15$ e $x < 45$ :

- - - - - - - - - - 15 + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 45 + + +

+ + + + + + + + 15 - - - - - - - - - - 45 + + +

Temos que o intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa 𝐴 do que pela empresa 𝐵 é:

$15 < x < 45$

c) Temos que para maior que 30 kg:

$V_{A} + V_{B} = 850$ equação I

$x_{A} + x_{B} = 200$ equação II

$V_{A} = 4x_{A} + 30$ e $V_{B} = 2x_{B} + 120$

Utilizando a equação I e II, temos:

$4x_{A} +30 + 2x_{B} + 120 = 850$

$4x_{A} + 2x_{B} = 700$

$2(2x_{A} + x_{B}) = 700$

$2x_{A} + x_{B} = 350$ equação III

Agora podemos utilizar equalão II e II para encontrar xA e xB:

$x_{A} + x_{B} = 200$

Vamos multiplicar por -2 e somar com a III

$-2 x_{A} -2 x_{B} = - 400$

$2x_{A} + x_{B} = 350$

$- x_{B} = - 50$

$x_{B} = 50$

Podemos achar xA:

$x_{A} + x_{B} = 200$

$\ x_{A} + 50 = 200 \ x_{A} = 150$

Agora vamos realizar Para menor que 30 kg

$V_{A} + V_{B} = 850$ equação 1

$x_{A} + x_{B} = 200$ equação 2

$V_{A} = 4x_{A} + 30$ e $V_{B} = 6x_{b}$

$4x_{A} + 30 + 6x_{B} = 850$

$2(2x_{A} + 3x_{B} )= 820$

$2x_{A} + 3x_{B} = 410$

Utilizando a equação 2, iremos substituir na equação acima:

$x_{A} + x_{B} = 200$

$x_{A} = 200 - x_{B}$

__________________

$2x_{A} + 3x_{B} = 410$

$2(200 -x_{B}) + 3x_{B} = 410$

$\ 400 -2 x_{B} + 3x_{B} = 410 \ \ x_{B} = 10$

Agora podemos achar xA:

$x_{A} = 200 - x_{B}$

$x_{A} = 200 - 10 = 190$

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