Questão 89

FUVEST 2023

Matemática

(FUVEST- 2023 - 1ª fase)

Considere a região do plano cartesiano

$A=left { (x,y) epsilon mathbb{R}^{2}: |x|+|y|leq 1 ight }$

esboçada na figura.

Dado $B=left { (x,y) epsilon mathbb{R}^{2}: (x+1)^{2} + y^{2} geq 1 ight }$ , a área da região $A cap B$ é:

$2-frac{pi}{4}$

$2-frac{pi}{2}$

$4+frac{pi}{2}$

$4-frac{pi}{4}$

$2+frac{pi}{2}$

Gabarito:

$2-frac{pi}{4}$

Resolução:

Vamos definir primeramente a região B:

$(x+1)^{2} + (y + 0)^{2} geq 1$

Podemos observador que se trata de uma circunferência,portanto, temos:

Centro: C(-1, 0)

Raio: $sqrt{1} = 1$

Então, temos:

Se observarmos as equações da regiçao A, como é menor e igual a 1, portanto, queremos a parte interna de A, mas em relação a região B queremos maior ou igual a 1, portanto queremos a parte externa, com isso:

A interseção será a região em verde:

Temos que o lado do triângulo na região A é $sqrt{2}$ , com isso a área, será:

$A = sqrt{2} ^{2}$

Todavia isso é a parte toda, temos que retirar aquilo que não queremos, a qual é o setor em amarelo abaixo:

$A cap B = sqrt{2} ^{2} - frac{pi r^{2}}{4}$

$A cap B = 2 - frac{pi 1^{2}}{4} = 2 - frac{pi }{4} = frac{8 - pi}{4}$

Gabarito: A

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