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Questão 2

FUVEST 2023
Física

(FUVEST - 2023)

O telescópio espacial James Webb lançado em 2021 é, em muitos sentidos, um aprimoramento do antigo telescópico Hubble. Uma das diferenças mais notáveis está nas dimensões e nas propriedades ópticas dos espelhos principais destes dois telescópios. Por exemplo: enquanto o espelho principal do Hubble tem uma distância focal de aproximadamente 58 m, a distância focal do espelho principal do James Webb é de aproximadamente o dobro (131 metros). Tratando de maneira aproximada o funcionamento destes telescópios, consideraremos aqui a reflexão por somente um espelho esférico. Suponha um sistema binário de estrelas separadas por uma distância H, e localizado a uma distância D do espelho do telescópio que as observa, conforme mostra a figura. A distância entre o foco do espelho (ponto 𝐹) e o vértice do espelho (ponto 𝑉) é a chamada distância focal do espelho (df).

 

 

a) Dois raios luminosos (“raio 1” e “ raio 2”) partindo da estrela A atingem o espelho. O “raio 1” é paralelo ao eixo do espelho, enquanto o “raio 2” passa pelo ponto F. Na figura da folha de respostas, trace os raios refletidos pelo espelho.

b) Considere que o sistema está sendo observado pelo telescópio Hubble, para o qual d_{f}= d. Calcule a razão A= frac{H_{1}}{H} onde H_{1} é a distância entre as imagens das estrelas formadas pelo espelho. Essa razão é também chamada de “aumento” do espelho, embora esta razão possa ser menor do que 1. Expresse sua resposta em termos de D e d.

c) Considere agora que o sistema esteja sendo observado pelo telescópio James Webb, para o qual d_{F}= 2d. Calcule a razão entre os aumentos dos dois espelhos. Expresse sua resposta em termos de D e d.

 

Note e adote:

As estrelas podem ser consideradas fontes luminosas pontuais.

Para espelhos esféricos, o inverso da distância focal é igual à soma do inverso da distância do objeto com o inverso da distância em que a imagem se forma (todas em relação ao centro do espelho).

Gabarito:

Resolução:

a)  Temos que: 

  • Raio 1: Raio incidente paralelo ao eixo principal reflete-se passando pelo foco principal
  • Racio 2: Raio incidente passando pelo foco principal reflete - se paralelamente ao eixo principal

b) Iremos assumir que H1 e H são comprimentos sem sinal algébrico, com isso é correto afirmar que: 

A = frac{H_{1}}{H} = frac{D}{D}

Pela equação de Gauss, podemos determinar o valor de D' (distância da imagem do sistema binário de estrelas até o espelho): 

frac{1}{d} = frac{1}{D} + frac{1}{D}

Portanto: 

frac{1}{d} - frac{1}{D} = frac{1}{D}

Substituindo na primeira equação, temos: 

A = frac{frac{dD}{D-d}}{D}

A = frac{d}{D-d}

c) Para o telescópio Webb 

frac{1}{2d} = frac{1}{D} + frac{1}{D_{w}}

frac{1}{2d} - frac{1}{D} = frac{1}{D_{w}}

frac{1}{D_{w}} = frac{D-2d}{2dD}

D_{w} = frac{2dD}{D-2d}

A_{w} = frac{D_{w}}{D}

A_{w} = frac{frac{2dD}{D-2d}}{D}

A_{w} = frac{2d}{D-2d}

Portanto, temos: 

r = frac{A_{w}}{A_{H}} = frac{A_{w}}{A}

r = frac{frac{2d}{D-2d}}{frac{d}{D-d}}

Da qual, temos:

r = frac{2(D-d)}{D-2d}

Portanto: r = 2

__________________________________________________________________________

Gabarito: 

a) Ver esquema 

b) A = frac{d}{D-d}

c) r = 2

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