Questão 3

FUVEST 2020

Física

(FUVEST 2020 - 2 fase) A tomografia por emissão de pósitrons (PET) é uma técnica de imagem por contraste na qual se utilizam marcadores com radionuclídeos emissores de pósitrons. O radionuclídeo mais utilizado em PET é o isótopo 18 do flúor, que decai para um núcleo de oxigênio‐18, emitindo um pósitron. O número de isótopos de flúor‐18 decai de forma exponencial, com um tempo de meia‐ vida de aproximadamente 110 minutos. A imagem obtida pela técnica de PET é decorrente da detecção de dois fótons emitidos em sentidos opostos devido à aniquilação, por um elétron, do pósitron resultante do decaimento. A detecção é feita por um conjunto de detectores montados num arranjo radial. Ao colidir com um dos detectores, o fóton gera cargas no material do detector, as quais, por sua vez, resultam em um sinal elétrico registrado no computador do equipamento de tomografia. A intensidade do sinal é proporcional ao número de núcleos de flúor‐18 existentes no início do processo.

a) Após a realização de uma imagem PET, o médico percebeu um problema no funcionamento do equipamento e o reparo durou 3h40min. Calcule a razão entre a intensidade do sinal da imagem obtida após o reparo do equipamento e a da primeira imagem.

b) Calcule a energia de cada fóton gerado pelo processo de aniquilação elétron‐pósitron considerando que o pósitron e o elétron estejam praticamente em repouso. Esta é a energia mínima possível para esse fóton.

c) A carga elétrica gerada dentro do material do detector pela absorção do fóton é proporcional à energia desse fóton. Sabendo‐se que é necessária a energia de 3 eV para gerar o equivalente à carga de um elétron no material, estime a carga total gerada quando um fóton de energia 600 keV incide no detector.

Note e adote:
O elétron e o pósitron, sua antipartícula, possuem massas iguais e cargas de sinais opostos.
Relação de Einstein para a energia de repouso de uma partícula: $E = mc^{2}$ .
Carga do elétron = $1,6 imes10^{-19} C$
Massa do elétron: $m=9 imes10^{-31} kg$
Velocidade da luz: $c=3 imes10^{8} m/s$
1 eV = $1,6 imes10^{-19} J$
“Tempo de meia‐vida”: tempo necessário para que o número de núcleos radioativos caia para metade do valor inicial

Gabarito:

Resolução:

Devemos lembrar que o decaimento é uma função exponencial logo tem a seguinte forma:

$n=n_o .2^{-t}$

Sendo o tempo t é a quantidade de meia vida que aconteceu, pois a cada meia vida a quantidade de partículas cai na metade. Então quantas meia vidas aconteceu em 3h40min? Se cada meia vida acontece em 110 min e 3h40min em minutos é igual a 220min nesse tempo houve duas meia vidas, então vamos substituir na fórmula:

$n=n_o .2^{-2} Rightarrow n = frac{n_o}{4}$

Como a intensidade é proporcional ao número de núcleos de Flúor então a razão entre intensidade final e a inicial é:

$frac{I_f}{I_o}=frac{ frac{n_o}{4}}{n_o}=frac{1}{4}$

Como a energia do fóton é proveniente do elétron e do pósitron podemos escrever a seguinte relação, como a massa do elétron é igual do pósitron:

$\ E_f = E_{e^-}+E_{e^+} Rightarrow E_f = m_e.c^2 +m_e.c^2 Rightarrow E_f = 2.m_e.c^2 \ \ E_f=2.9.10^{-31}.(3.10^8)^2 = 162.10^{-15}J =1,62.10^{-13}J$

Como o fóton emitido tem 600keV de energia e o enunciado forneceu que 3eV no fóton é equivalente a carga de 1 elétron então vamos fazer a seguinte relação (regra de três):

$frac{3eV}{600.10^3}=frac{1e}{x} Rightarrow x=2.10^5 e$

Ou seja o fóton de 600keV fornece $2.10^5$ elétrons

Então por ultimo basta saber que 1 elétron tem $1,6.10^{-19}C$

Logo nosso x (quantidade de carga proveniente do fóton) vale:

$x=2.10^5 .1,6.10^{-19} = 3,2.10^{-14}C$

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