Questão 5

FUVEST 2017

Matemática

(FUVEST 2017 - 2 FASE)

Considere a função f_a : [0,1] → [0,1] que depende de um parâmetro a $in$ ]1,2] , dada por

Sabe-se que existe um único ponto p_a $in$ $]frac{1}{2},1[$ tal que f_a(p_a) = p_a. Na figura a seguir, estão esboçados o gráfico de f_a e a reta de equação y = x.

a) Encontre uma expressão para o ponto p_a em função de a.

b) Mostre que f_a(f_a(1/2)) < 1/2 para todo a $in$ ]1,2].

c) Utilizando a desigualdade do item b), encontre a $in$ ]1,2] tal que f_a(f_a(f_a(1/2))) = p_a, em que p_a é o ponto encontrado no item a)

Gabarito:

Resolução:

Pelo gráfico, percebemos que em $x=P_a$ a função f é igual à função de reta y=x. Logo, podemos igualar as expressões:

$f(P_a)=a(1-P_a)=P_a$

$a-a cdot P_a=P_a$

$P_a=frac{a}{a+1}$

___________________________________________________

Primeiro, encontramos $f_a(frac{1}{2})$ e depois aplicamos o resultado disso em $f_a$ :

$f_a(frac{1}{2})=a cdot frac{1}{2}= frac{a}{2}$

$f_a(f_a(frac{1}{2}))= f_a(frac{a}{2})=a(1-frac{a}{2})=a- frac{a^2}{2}$

Queremos provar que isso é menor que 1/2 para qualquer a em ]1,2]. Logo:

$a- frac{a^2}{2}< frac{1}{2}$

Remanejando algebricamente:

$a^2-2a+1>0$

Para essa expressão, encontramos somente a raiz $a=1$ . Sendo assim, analisando o sinal da função, vemos que ela é positiva para qualquer valor de a (exceto a=1 que é sua raiz).

Logo, no intervalo $1<aleq 2$ a função é positiva e a inequação é verdadeira.

______________________________________________

Usando os resultados obtidos nos itens anteriores, temos:

$f_a(f_a(frac{1}{2}))=frac{-a^2}{2}+a$ e $P_a=frac{a}{a+1}$

$f_a(frac{-a^2}{2}+a) = frac{a}{a+1}$

$a cdot(frac{-a^2}{2}+a) = frac{a}{a+1}$

$(1+a)(-a^2+2a)=2$

$-a^3+a^2+2a-2=0$

$a^2(-a+1)+2(a-1)=0$

$-a^2(a-1)+2(a-1)=0$

$(-a^2+2)(a-1)=0$

$a-1=0Rightarrow a=1$

$-a^2+2=0Rightarrow a=sqrt{2}$

Como queremos $ain ]1,2]$ , então a' está fora do intervalo estudado. Portanto:

$a=sqrt2$

Questões relacionadas

Questão 90

(FUVEST - 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: V(t) = log2 (5 + 2 sen(t)...

Ver questão

Questão 84

(FUVEST - 2017 - 1a fase) O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado BC e BP = 1. Os pontos R, S e T pert...

Ver questão

Questão 89

(FUVEST - 2017 - 1a fase) Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferênc...

Ver questão

Questão 80

(FUVEST - 2017 - 1a fase) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positiv...

Ver questão