Questão 3
FUVEST 2017
(FUVEST 2017 - 2 FASE)
Um quadriculado é formado por n x n quadrados iguais, conforme ilustrado para n = 2 e n = 3. Cada um desses quadrados será pintado de azul ou de branco. Dizemos que dois quadrados Q1 e Q2 do quadriculado estão conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possível, por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes, sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul.
a) Se n = 2, de quantas maneiras distintas será possível pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito?
b) Suponha que n = 3 e que o quadrado central esteja pintado de branco. De quantas maneiras distintas será possível pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito?
c) Suponha que n = 3. De quantas maneiras distintas será possível pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito?
Gabarito:
Resolução:
a)
Com n=2 para que Q1 e Q2 estejam conectados, eles necessariamente devem estar pintados de azul e as outras duas casas possíveis podem estar pintadas de azul ou branco, mas desde que uma delas esteja pintada de azul. Logo, temos:
Somente uma opção para Q1 e Q2 e duas opções para as duas casas restantes:
Dessas possibilidades, temos que tirar a que ambas as casas são pintadas de branco. Logo temos: possibilidades.
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b)
Com n=3 e a casa central pintada de branco, temos que analisar duas situações: quando a segunda casa da primeira linha é azul e quando ela é branca.
Quando é branca, a única forma de se conectar Q1 e Q2 é com as demais casas pintadas de azul:
Logo, só temos uma forma de pintá-las nesse caso.
Quando a segunda casa da primeira linha é azul, não importa a cor das demais casas, já que Q1 e Q2 já estarão conectados. Sendo assim:
Temos 2 opções para cada uma das 5 casas. Assim, o número de formas diferentes de se pintar o quadriculado é:
Logo, como temos 32 + 1 = 33 formas diferentes de se pintar conectando Q1 e Q2 .
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c)
Primeiro, analisando o caso em que a casa entre Q1 e Q2 é necessariamente azul, temos:
Nesse caso, como Q1 e Q2 já estão conectados, as outras casas podem ter qualquer cor. Portanto:
formas distintas.
Caso a casa entre Q1 e Q2 esteja branca, temos as seguintes opções:
Com a casa central azul, necessariamente as casas abaixo de Q1 e Q2 devem também ser azuis, mas as 3 casas inferiores podem ter qualquer cor (já que Q1 e Q2 já estarão conectados pela linha do meio).
Logo, temos:
formas distintas.
Por fim, caso a casa central seja branca, temos somente uma opção possível (como foi abordado no item b):
Sendo assim, temos formas distintas.