Questão 88

FUVEST 2017

Matemática

(FUVEST - 2017 - 1a fase)

Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente,

4 horas e 50 minutos.

5 horas e 20 minutos.

5 horas e 50 minutos.

6 horas e 20 minutos.

6 horas e 50 minutos.

Gabarito:

5 horas e 50 minutos.

Resolução:

Primeiramente devemos calcular qual é o volume correspondente quando a água estiver na metade da altura do cone. Esse volume é dado pelo volume total do cone subtraido do volume do cone formado acima da metade da altura.

Vou chamar de $V_{t}$ o volume que buscamos, $V$ o volume do cone grande e $v$ o volume do cone pequeno.

$V_{t} = V - v$

$V_{t} = frac{1}{3}pileft( 4^{2} ight )12 - frac{1}{3}pileft(2^{2} ight )6$

$V_{t} = frac{1}{3}pileft(192 - 24 ight )$

$V_{t} = 56pi$

O valores das alturas e raios estavam em metros, então,

$V_{t} = 56pi m^{3}$

Sabemos que $1l = 0,001 m^{3}$

então: $500l/min = 0,5m^{3}/min$

O tempo em minutos é dado por:

$t = frac{56pi}{0,5l/min}$

$t = 351,68 min$

Isso equivale a aproximadamente 5 horas e 50 min.

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