Questão 83

FUVEST 2017

Matemática

(FUVEST - 2017 - 1a fase)

Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo secreto (ou amigo oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é

Gabarito:

Resolução:

Denotando Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana por C,P,R e A temos que:

o número total de possibilidades é:

1) A primeira pessoa tem 4 possibilidades de escolha

2) A segunda tem 3 possibilidades

3) A terceira tem 2 possibilidades

4) A quarta tem 1 possibilidade

O que resulta em $N=4!=24$

Se começarmos por C, ele tem 3 opções de escolha, que são P,R e A

Digamos que ele escolheu P, então P tem novamente 3 opções, mas se P escolha C automaticamente R e A se escolheram

Logo, $N_{1} = 3$

Caso contrário, P tem 2 escolhas e o próximo terá 1, logo: $N_{2} = 3cdot 2cdot 1 = 6$

Portanto, o número de casos favoráveis é: $n = N_{1} + N_{2} = 3+6=9$

E a probabilidade é dada por:

$P = frac{9}{24} = frac{3}{8}$

Dúvidas ou sugestões? Comentem !!!

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OBS.: APROFUNDAMENTO - CASO GERAL

Suponhamos que tenhamos n pessoas no sorteio e queremos a mesma probabilidade:

Temos, portanto, que o número total de casos será:

$N_{TOTAL} = n!$

Para escolher os casos favoráveis faremos:

1) A pessoa $P_{1}$ tem n-1 escolhas a fazer. Digamos que ela escolha $P_{2}$ . Logo essa pessoa terá também n-1 escolhas, mas sujeita aos seguintes casos

*) Se ela escolhe $P_{1}$ teremos que fazer as mesmas condições iniciais para as n-2 pessoas restantes. Portanto:

$N_{1} = (n-1)cdot a_{n-2}$ , onde $a_{n-2}$ é o número de possibilidades favoráveis para o problema abordado só que para um grupo de n-2 pessoas

*) Se ele escolhe outra pessoa ele terá n-2 possibilidades. Digamos que ele escolha $P_{3}$ .Logo essa pessoa terá também n-2 escolhas, mas sujeita aos seguintes casos

**) Se ela escolhe $P_{2}$ teremos que fazer as mesmas condições iniciais para as n-2 pessoas restantes. Portanto:

$N_{1} = (n-1)cdot(n-2)cdot a_{n-3}$ , onde $a_{n-3}$ é o número de possibilidades favoráveis para o problema abordado só que para um grupo de n-3 pessoas

**) Se ele escolhe outra pessoa ele terá n-3 possibilidades, e o padrão se repete.

Logo, para n pessoas teremos:

$N =a_{n}= (n-1)cdot a_{n-2} + (n-1)cdot (n-2) cdot a_{n-3}+...+ (n-1)cdot ... cdot 2cdot a_{1}+(n-1)!cdot a_{0}$

$N =a_{n}= sum_{k=1}^{n-1}frac{(n-k)!cdot a_{n-k-1}}{(n-k-1)!}$ , onde $a_{n-k-1}$ é o número de casos favoráveis para um grupo de n-k-1 pessoas e $a_{n}$ é o número de casos favoráveis para um grupo de n pessoas.