Questão 14
FUVEST 2017
(Fuvest 2017 - 2ª fase - 2º dia)
Um balão sobe verticalmente com aceleração constante de 2 m/s2 a partir de um ponto localizado no solo a 36 m de um observador
, que permanece em repouso no solo. A medida em radianos do ângulo de elevação do balão em relação ao observador no instante
é denotada por
. Sabe-se que a massa do balão é de 90 kg.
a) Supondo que as forças que determinam o movimento do balão sejam o seu peso e o empuxo, calcule o volume do balão.
b) Suponha que, no instante , o balão se encontre no ponto
e que sua velocidade seja nula. Determine a velocidade média do balão entre o instante
em que
e o instante
em que
.
Adote: Aceleração da gravidade: 10 m/s2
Densidade do ar: 1,2 kg/m3.
Gabarito:
Resolução:
a) A força Peso tem módulo dado por P = mg, logo P = 900 N, e esta força atua verticalmente para baixo.
O balão sofre um empuxo E, cujo módulo é dado por E = dVg, em que d é a densidade do ar, e V é o volume do balão.
Da segunda Lei de Newton:
Fresultante = ma.
Logo, E -P = ma.
12V - 900 = 90*2.
12V = 90*12.
V = 90 m³.
b)Já que o movimento de subida é retilíneo e uniformemente variado, a sua velocidade média é dada pela média aritmética entre a velocidade no instante final e a velocidade no instantente inicial.
A velocidade instantânea do balão é dada por V(t) = 2t.
No instante t1, em que , o balão terá subido 36 m a partir do solo, isso porque
.
Da equação da posição y(t) = t², podemos inferir que t1 = 6 s.
Portanto, V(t1) = 12 m/s.
No instante t2, o balão estará numa posição y tal que .
Logo, .
Portanto, .
A velocidade média entre os instantes é:
.