Questão 3

FUVEST 2017

Física

(Fuvest 2017 - 2ª fase - 3º dia) Foram identificados, até agora, aproximadamente 4.000 planetas fora do Sistema Solar, dos quais cerca de 10 são provavelmente rochosos e estão na chamada região habitável, isto é, orbitam sua estrela a uma distância compatível com a existência de água líquida, tendo talvez condições adequadas à vida da espécie humana. Um deles, descoberto em 2016, orbita Proxima Centauri, a estrela mais próxima da Terra. A massa, M_P, e o raio, R_P, desse planeta são diferentes da massa, M_T, e do raio, R_T, do planeta Terra, por fatores $alpha$ e $eta$ : M_P = $alpha$ M_T e R_P = $eta$ R_T.

a) Qual seria a relação entre $alpha$ e $eta$ se ambos os planetas tivessem a mesma densidade?

Imagine que você participe da equipe encarregada de projetar o robô C-1PO, que será enviado em uma missão não tripulada a esse planeta. Características do desempenho do robô, quando estiver no planeta, podem ser avaliadas a partir de dados relativos entre o planeta e a Terra. Nas condições do item a), obtenha, em função de $eta$

b) a razão r_g = g_p/g_t entre o valor da aceleração da gravidade, g_p, que será sentida por C-1PO na superfície do planeta e o valor da aceleração da gravidade, g_t, na superfície da Terra;

c) a razão r_t = t_P / t_T entre o intervalo de tempo, t_P, necessário para que C-1PO dê um passo no planeta e o intervalo de tempo, t_T, do passo que ele dá aqui na Terra (considere que cada perna do robô, de comprimento L, faça um movimento como o de um pêndulo simples de mesmo comprimento);

d) a razão r_V = v_P / v_T entre os módulos das velocidades do robô no planeta, v_P, e na Terra, v_T.

Gabarito:

Resolução:

a) Se ambos os planetas tem a mesma densidade deve valer a relação:

$frac{M_T}{M_P} = frac{ V_T}{V_P}$ .

Os volumes dos planetas são proporcionais aos cubos de seus respectivos raios.

Portanto:

$frac{M_T}{alpha M_T} = frac{ R_T^3}{eta^3 R_T^3}$ .

$eta^3 = alpha.$

b) A gravidade na superfície de um planeta é dada por g = GM/R².

Sendo os planetas esféricos, vale $M = frac{4pi dR^3}{3}$ , com d sendo a densidade do planeta.

Portanto, $g = frac{4Gpi dR}{3}$ .

Sendo assim, $r_g = frac{g_P}{g_T} = frac{R_P}{R_T} = eta$ .

c) Os passos são dados em intervalos de tempo proporcionais aos períodos de oscilação da perna.

Logo, vale a relação:

$r_t = frac{2pi(L/g_P)^{1/2}}{2pi(L/g_T)^{1/2}}$

$r_t = (frac{g_T}{g_P})^{1/2}$

$r_t = sqrt{frac{1}{eta}}$ .

d) Podemos determinar a velocidade do robô sabendo o comprimento x de cada passo e o intervalo de tempo tque cada passo leva para acontecer.

Sendo assim V = x/t.

Logo, $r_V = frac{frac{x}{t_P}}{frac{x}{t_T}} = frac{t_T}{t_P}$ .

$r_V = sqrt{eta}$

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