Questão 12
FUVEST 2014
(FUVEST 2014 - 2ª FASE)
Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.
a) Quantas unidades da Federação tem cada região?
b) Chame de ܰ número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para ܰ e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos.
c) Chame de ܲ a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que ܲ
.
Gabarito:
Resolução:
a) Na Região Norte temos 7 unidades (PA, AM, AC, RO, TO, AP e RR), na Região Nordeste 9 unidades (MA, PI, CE, RN, PB, PE, AL, SE e BA), a Região Centro-Oeste possui 4 unidades (MT, MS, GO e DF), a Região Sudeste possui 4 unidades (MG, ES, RJ e SP) e finalmente a Região Sul possui 3 unidades (PR, SC e RS). Destas regiões, Sudeste e Nordeste são as mais populosas
b) Podemos escolher de formas duas unidades federativas da Região Nordeste. Para as demais unidades administrativas teremos:
formas de escolher uma unidade federativa da Região Norte,
maneiras de optar por uma unidade da Região Centro-Oeste e
maneiras de fazer escolha plea unidade da Região Sul. Como cada unidade federativa possui 3 representantes no senado, o número N de comissões possíveis satisfazendo as condições exigidas é tal que:
c)
A República Ferativa do Brasil possui 27 unidades Federativas, nela estão 81 senadores. Portanto:
possíveis comissões
A probabilidade de escolhermos uma comissão ao acaso e satisfazer as condições do enunciado é:
pois