Questão 38
FUVEST 2014
(FUVEST - 2014) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero.
Considere as seguintes afirmações:
I. x é irracional.
II.
III. x ⋅ 102.000.000 é um inteiro par.
Então,
nenhuma das três afirmações é verdadeira.
apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
apenas a afirmação I é verdadeira.
apenas a afirmação II é verdadeira.
apenas a afirmação III é verdadeira.
Gabarito:
apenas a afirmação III é verdadeira.
Resolução:
I . Da definição de número irracional, temos que um número irracional é um número que não pode ser obtido pela divisão entre dois números inteiros.
Como vemos, x possui somente zeros depois da 2.000.000ª casa decimal. Isso quer dizer que multiplicando x por 10^(2.000.000) teremos um número inteiro como resultado. Desse modo, x é a divisão desse inteiro por 10^(2.000.000), que é outro número inteiro. Logo, x não é irracional.
II . 10/3 = 3,333... , ou seja, as casas decimais 3 são uma dízima periódica que repete infinitamente, sendo assim, x é menor que 10/3, pois o maior algarismo que pertence às casas decimais de x é 3 e este para de se repetir na 999.999ª casa.
III . De acordo com o enunciado, X tem 2 000 000 de casas decimais. Desse modo, quando multiplicamos X por 10^(2 000 000), a vírgula caminha 2 000 000 casas para a direita, então teremos um número inteiro como resultado. Esse número inteiro é par, já que o último algarismo será 2.
Gabarito: E
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