Questão 6

FUVEST 2014

Matemática

(Fuvest - 2014 - 2 FASE)

Considere o triângulo equilátero $Delta A_0 OB_0$ de lado 7 cm.

a) Sendo $A_1$ o ponto médio do segmento $overline{A_0 B_0}$ , e $B_1$ o ponto simétrico de $A_1$ em relação à reta determinada por $O$ e $B_0$ , determine o comprimento de $overline{0B_ 1}$ .

b) Repetido a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo $Delta A_1 OB_1$ , pode-se obter o triângulo $Delta A_ 2 OB_ 2$ tal que $A_2$ é o ponto médio do segmento $overline{A_1 B_1 }$ , e $B_2$ e o ponto simétrico de $A_2$ em relação à reta determinada por $O$ e $B_1$ . Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo $Delta A_3 O B _ 3$ . Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulos $Delta A_n OB_ n$ tais que, para todo $n geq 1$ , $A_n$ é o ponto médio de $overline{A_{n-1}B_{n-1}}$ , e $B_n$ , o ponto simétrico de $A_n$ em relação à reta determinada por $O$ e $B_{n-1}$ , conforme figura ao lado.

Denotando por $a_n$ , para $n geq 1$ , o comprimento do segmento $overline{A_{n-1} A_n}$ , verifique que $a_1, a_2, a_3, ...$ é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal $A_0 A_1 A_2 , ... , A_n, n geq 1.$

O ponto $p$ é simétrico ao ponto $P$ em relação à reta $r$ se o segmento $overline{Pp }$ é perpendicular à reta $r$ e a interseção de $overline{Pp }$ e $r$ é o ponto médio de $overline{Pp }$ .

Gabarito:

Resolução:

Como $Delta A_0 OB_0$ é equilátero, então $m(A_{0}hat{B}_{0}O) = 60 ^{circ}$ . como B₁é simétrico a A₁por $overline{OB_{0}}$ , $overline{OB_{0}} perp overline{A_{1}B_{1}}$ e, portanto, $m(Ohat{A}_{1}B_{1}) = 60 ^{circ}$ e $m(Ohat{B}_{1}A_{1}) = 60 ^{circ}$ .

Partindo disso, $Delta A_1 OB_1$ é equilátero e, analogamente, $Delta A_n OB_ n$ é equilátero para qualquer n maior ou igual a zero, com n pertencente aos inteiros.

a) $OB_{1} = OA_{1}$ e $overline{OA}_{1}$ é a altura $Delta A_0 OB_0$ , logo $OB_{1} = frac{7sqrt{3}}{2} cm$

b) $overline{OA_{n}}$ é a altura do $Delta A_{n-1}O B_{n-1}, ngeq 1$ e $A_{n-1}A_{n} = frac{1}{2} OA_{n-1}$ , logo:

$OA_{n} = OA_{n-1} cdot frac{sqrt{3}}{2} Leftrightarrow A_{n}A_{n+1} = A_{n-1}A_{n} cdot frac{sqrt{3}}{2} Leftrightarrow a_{n+1} = a_{n} cdot frac{sqrt{3}}{2}$

$n geq 1$ , que forma uma progressão geométrica de razão $frac{sqrt{3}}{2}$ e primeiro termo $A_{0}A_{1} = frac{A_{0}B_{0}}{2} = frac{7}{2}$

c) O comprimento da linha poligonal é a soma dos n primeiros termos da PG definida no item b dada por:

$S_{n} = frac{frac{7}{2}(1-(frac{sqrt{3}}{2})^{n})}{1-frac{sqrt{3}}{2}}$

$S_{n} = 7 (2+sqrt{3})(1-(frac{sqrt{3}}{2})^{n}) cm$

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