Questão 3

FUVEST 2014

Matemática

(Fuvest 2014 - 2ª fase)

Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + c são reais. Sabendo que –1 e 1 + $alpha$ i, com $alpha$ > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x – 1) é 8, determine

a) o valor de $alpha$ ;

b) o quociente de p(x) por (x + 1).

i é a unidade imaginária, i² = –1

Gabarito:

Resolução:

a) Os coeficientes de p(x) são reais, então as raízes serão: -1, $1+alpha i$ , $1 - alpha i$

$p(x) = (x-(-1))(x-(1+alpha i))(x-(1-alpha i))$

$p(x) = (x+1) (x-1-alpha i)(x-1+alpha i)$

Seguindo o teorema do resto:

$p(1) = 8 Rightarrow (1+1)(1-1-alpha i) (1-1 +alpha i) = 8$

$2alpha ^{2} = 8 Rightarrow alpha ^{2} = 4$

Como $alpha >0 Rightarrow alpha =2$

b) O quociente de p(x) por (x+1):

$frac{(x+1)(x-1-2i)(x-1+2i)}{(x+1)}$

$(x-1-2i)(x-1+2i) = x^{2} -2x + 5$

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