Questão 10

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 10)

A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que

$AB=CD=frac{sqrt{3}}{2}$

$AD=BC=AE=BE=CE=DE=1$

$AP=DQ=frac{1}{2}$

Nessas condições, determine:

a) A medida de BP .

b) A área do trapézio BCQP .

c) O volume da pirâmide BPQCE .

Gabarito:

Resolução:

a) Sendo $Theta$ a medida do ângulo agudo $Bwidehat{A}E$ , no triângulo $EAB$ , temos que:

$1^{2}=1^{2}+(frac{sqrt{3}}{2})^{2}-2.1.frac{sqrt{3}}{2}.cosTheta Leftrightarrow cosTheta =frac{sqrt{3}}{4}$

e no triângulo $PAB$ teremos:

$BP^{2}=(frac{1}{2})^{2}+(frac{sqrt{3}}{2})^{2}-2.frac{1}{2}.frac{sqrt{3}}{2}.cosTheta$

Logo, $BP^{2}=frac{1}{4}+frac{3}{4}-frac{sqrt{3}}{2}frac{sqrt{3}}{4}Leftrightarrow (BP)^{2}=frac{5}{8}$

$BP=frac{sqrt{10}}{4}$

b) Sendo h a altura do trapézio isósceles $BCQP$ e $S$ a sua área teremos:

$1^{circ}) h^{2}+(frac{1}{4})^{2}=(frac{sqrt{10}}{4})^{2}Leftrightarrow h=frac{3}{4}$ , pois h deverá ser maior que 0.

$2^{circ}) S=frac{(BC+QP).h}{2}$

Dessa forma,

$S=frac{(1+frac{1}{2}).frac{3}{4}}{2}Leftrightarrow S=frac{9}{16}$

Sendo $M$ e $N$ os pontos médios dos segmentos $overline{BC}$ e $overline{QP}$ , teremos:

$MN=h=frac{3}{4}$

$EM=frac{sqrt{3}}{2}$

e $EN=frac{1}{2}frac{sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}}{4}$

Logo podemos concluir que o triângulo $NME$ é retângulo em $N$ , pois $(EM)^{2}=(EN)^{2}+(NM)^{2}$ uma vez que

$(frac{sqrt{3}}{2})^{2}=(frac{3}{4})^{2}+(frac{sqrt{3}}{4})^{2}$ , portanto, $EN$ é a altura da pirâmide $BPQC$ , pois $EN$ é perpendicular ao $overline{PQ}$

Portanto, o volume dessa pirâmide será:

$V=frac{1}{3}.S.EN=frac{1}{3}.frac{9}{16}.frac{sqrt{3}}{4}=frac{3sqrt{3}}{64}$

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