Questão 77

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 1 FASE) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - 2)² + (y - 2)² = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.

Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível.

Então, a área de PQR é igual a:

$2sqrt{2}+3$

Gabarito:

Resolução:

Temos:

C(2,2);           r = 2;
P(2,0);           Q(0,2)

Ponto médio entre P e Q:
H(1,1)

A reta perpendicular a reta PQ passando pelo ponto médio "H", também passa pelo terceiro e desconhecido vértice do triângulo isósceles inscrito à circunferência. Assim:
r = PQ

r: y = -x + 2

r': y = x ---> reta perpendicular a "r" no ponto H.

Agora, basta substituir na eq. "C", para que seja encontrado o terceiro vértice. Portanto:
(x-2)² + (x-2)² = 4
x = 2 + V2

Logo,      R(2+V2, 2+V2)

Temos os três pontos do triângulo, basta fazer o determinante e dividir por 2:

R(2+V2, 2+V2)

P(2,0);

Q(0,2)

$A = frac{1}{2} cdot egin{vmatrix} 2 & 0 & 1\ 0 & 2 & 1\ 2+sqrt{2} & 2+sqrt{2} & 1 end{vmatrix}$

Aplicando o Teorema de Laplace encontramos:

$A = frac{1}{2} cdot|-4-4sqrt{2}|$

$A = 2+2sqrt{2}$

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