Questão 9

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 9)

Seja x no intervalo $left ] 0, frac{pi}{2} ight [$ satisfazendo a equação $an x + frac{2}{sqrt{5}}sec x = frac{3}{2}$ .

Assim, calcule o valor de

a) $sec x$

b) $sec (x+frac{pi}{4})$

Gabarito:

Resolução:

$a)$ Se x $x: epsilon : ]0 ;frac{pi }{2}],$ $tgx+frac{2}{sqrt{5}}secx=frac{3}{2}$ e $sec^{2}x=1+(frac{3}{2}-frac{2}{sqrt{5}}secx)^{2}Leftrightarrow$ $sec^{2}x=1+frac{9}{4}-frac{6}{sqrt{5}}secx+frac{4}{5}sec^{2}x$

$frac{1}{5}sec^{2}x+frac{6}{sqrt{5}}secx-frac{13}{4}Leftrightarrow secx=frac{-frac{6}{sqrt{5}+sqrt{frac{36}{5}+frac{13}{5}}}}{frac{2}{5}}$ $=frac{sqrt{5}}{2}$

$b)$ Considerando $secx=frac{sqrt{5}}{2}$ , teremos $cosx=frac{2}{sqrt{5}}$ e $senx=frac{1}{sqrt{5}}$

Dessa forma:

$sen(x+frac{pi }{4})=senx.cosfrac{pi }{4}+cosxsenfrac{pi }{4}=frac{1}{sqrt{5}}frac{sqrt{2}}{2}+frac{2}{sqrt{5}}frac{sqrt{2}}{2}=frac{3sqrt{10}}{10}$

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