Questão 5

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 5)

A soma dos cinco primeiros termos de uma PG , de razão negativa, é $frac{1}{2}$ . Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.

Nessas condições, determine:

a) A razão da PG.

b) A soma dos três primeiros termos da PG

Gabarito:

Resolução:

$1) a_{7}-a_{2}=3Rightarrow a_{1}.q^{6}-a_{1}.q=3Rightarrow a_{1}q(q^{5}-1)=3Rightarrow a_{1}(q^{5}-1)=frac{3}{q}$

$2) S_{5}=frac{a_{1}(q^{5}-1)}{q-1}=frac{1}{2}$

$3)$ De 1 em 2, tem-se:

$frac{3}{q(q-1)}=frac{1}{2}Rightarrow q^{2}-q-6=0Rightarrow$

$q=3$ ou $q=-2$

$4)$ Se $q< 0$ então $q=-2$

$5)$ Em 1, tem-se: $a_{1}.q((-2)^{5}-1)=frac{3}{-2}Rightarrow a_{1}=frac{1}{22}$

$6) a_{2}=a_{1}.qRightarrow a_{2}=frac{1}{22}.(-2)=frac{-2}{22}$

$a_{3}=a_{1}.q^{2}Rightarrow a_{3}=frac{1}{22}.(-2)^{2}=frac{4}{22}$

$7)a_{1}+a_{2}+a_{3}=frac{1}{22}-frac{2}{22}+frac{4}{22}=frac{3}{22}$

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