Questão 4

FUVEST 2009

Matemática

(FUVEST - 2009 - 2 fase - Questão 4)

O triângulo ABC da figura ao lado é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados $overline{AB}$ , $overline{AC}$ e $overline{BC}$ do triângulo. Além disso, os ângulos $Ahat{F}E$ e $Chat{G}F$ são retos e a medida do segmento $overline{AF}$ é x .

Assim, determine:

a) A área do triângulo AFE em função de x .

b) O valor de x para o qual o ângulo $Fhat{E}G$ também é reto.

Gabarito:

Resolução:

Sabemos que o triângulo $ABC$ é equilátero, portando os ângulos internos do triângulo medem 60º

No triângulo AFE:

$tg60^{circ}=frac{FE}{x}Rightarrow sqrt{3}=frac{FE}{x}Rightarrow FE=sqrt{3}x$

Dessa forma, a área do trângulo retângulo $AFE$ é dada por:

$S=frac{AF.FE}{2}=frac{xsqrt{3}x}{2}=frac{sqrt{3}}{2}x^{2}$

Para $Fwidehat{E}G=90^{circ}$ :

Para determinarmos os ângulos iremos utilizar:

No triângulo $AFE$ teremos:

$sen 30^{circ}=frac{x}{AE}Rightarrow frac{1}{2}=frac{x}{AE}Rightarrow AE=2x$

Se $AE=2x$ , então $EB=AB-AERightarrow EB=1-2x$

No triângulo GEF temos:

$tg30^{circ}=frac{sqrt{3}x}{EG}Rightarrow frac{sqrt{3}}{3}=frac{sqrt{3}x}{EG}Rightarrow x=frac{1}{5}$

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