Questão 34

FUVEST 2008

Matemática

(FUVEST - 2008 - 1ª FASE) Os números reais x e y são soluções do sistema

$left{egin{matrix} 2log_{2}x - log_{2}(y-1) &=1 \ log_{2}(x+4)- frac{1}{2}log_{2}y & =2 end{matrix} ight.$

Então vale

- 7.

- 1.

Gabarito:

Resolução:

$left{egin{matrix} x>0 & \ x+4>0& ightarrow x>-4 end{matrix} ight. Rightarrow x>0$

$left{egin{matrix} y-1>0 & ightarrow y>1\ y>0& end{matrix} ight. Rightarrow y>1$

$left{egin{matrix} 2log_{2}^{x}-log_{2}^{(y-1)}&=1 \log_{2}^{(x+4)} - frac{1}{2}log_{2}^{y}&=2 end{matrix} ight. Rightarrow left{egin{matrix} log_{2}^{x^{2}}-log_{2}^{(y-1)}&=1 \log_{2}^{(x+4)} - log_{2}^{sqrt{}y}&=2 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} log_{2}egin{bmatrix} frac{x^{2}}{y-1}end{bmatrix}=1 \log_{2}egin{bmatrix} frac{x+4}{sqrt{y}} end{bmatrix}=2 end{matrix} ight. Rightarrow left{egin{matrix} frac{x^{2}}{y-1}=2&(1) \frac{x+4}{sqrt{y}} ightarrow x = 4sqrt{y}-4&(2) end{matrix} ight.$

Com (1) em (2):

$frac{16y+16-32sqrt{y}}{y-1}=2 Rightarrow 8y+8-16sqrt{y}=y-1Rightarrow 7y - 16sqrt{y}+9=0$

$sqrt{y}=frac{16pm2}{14}< egin{matrix} frac{9}{7}\ 1 end{matrix}$ ( o resultado 1 não convém, pois y > 1)

$7(sqrt{y}-x)=7(sqrt{y}-4sqrt{y}+4)= 7(4-3sqrt{y})=7 (4-3cdotfrac{9}{7})= 7(frac{28-27}{7})=1$

Letra D correta.

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