Questão 10

FUVEST 2008

Matemática

(FUVEST - 2008) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que:

x apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto;
x os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero.

Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio $2sqrt{3}$ cm , determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo.

Gabarito:

Resolução:

A região do cubo mágico que está dentro do copo constitui uma pirâmide $ABCD$ , em que as faces $ABC, ABD : e: ACD$ são triângulos retângulos isósceles de catetos com medidas iguais à x e a face $BCD$ um triângulo equilátero de lado $l$ . O triângulo equilátero está inscrito no círculo de raio $2sqrt{3}: cm$ da boca do copo. Em centímetros, teremos:

$1)$

$h=frac{lsqrt{3}}{2}=3sqrt{3}Rightarrow l=6$

$2)$

Por Pitágoras no triângulo $ABC$ , temos $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}Rightarrow x^{2}+x^{2}=6^{2}Rightarrow x=3sqrt{2}$

$3)$

O volume $V$ da pirâmide $ABCD$ , em centímetros cúbicos é:

$V=frac{1}{3}frac{AB.AD}{2}.AC=frac{1}{3}.frac{x.x}{2}.x=frac{x^{3}}{6}=frac{(3sqrt{2})^{3}}{6}=9sqrt{2} cm^{3}$

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