Questão 4

FUVEST 2008

Matemática

(FUVEST - 2008) O círculo C , de raio R , está inscrito no triângulo equilátero DEF . Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura.

Assim, determine

a) a razão entre R e r .

b) a área do triângulo DEF em função de r .

Gabarito:

Resolução:

a) Por semelhança entre os triângulos retângulos temos que:

$frac{OM}{PN}=frac{OF}{PF}$

Portanto:

$frac{R}{r}=frac{R+3r}{PF}Leftrightarrow 2R=R+3rLeftrightarrow R=3rLeftrightarrow frac{R}{r}=3$

Considerando $l$ a medida do lado do triângulo equilátero $DEF$ e $S$ a sua área, temos que:

$1) R=frac{I}{3}.frac{lsqrt{3}}{2}$

Portanto: $3r=frac{lsqrt{3}}{6}Leftrightarrow l=6sqrt{3}r$

$2)S=frac{l^{2}sqrt{3}}{4}$

Logo: $S=frac{(6sqrt{3}r)^{2}.sqrt{3}}{4}Leftrightarrow S=27sqrt{3}r^{2}$

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