Questão 33

FUVEST 2008

Matemática

(FUVEST - 2008 - 1ª FASE) Sabe-se sobre a progressão geométrica a₁, a₂, a₃, ... que a₁ > 0 e a₆ = . Além disso, a progressão geométrica a₁, a₅, a₉, ... tem razão igual a 9.

Nessas condições, o produto a₂a₇ vale

Gabarito:

Resolução:

Como a₁ é um elemento maior que zero e a₆ é um elemento negativo, sabemos que a razão q da PG é negativa.

Além disso, sabemos que:

$a_6 = a_1cdot q^5 = -9sqrt{3}$

Da segundo PG apresentado no enunciado, temos:

$frac{a_9}{a_5} = 9 Leftrightarrow frac{a_1cdot q^8}{a_1 cdot q^4} = 9 Leftrightarrow q^4 = 9 Leftrightarrow q = pmsqrt{3}$

Como a nossa razão é negativa, o único valor possível é $q = -sqrt{3}$ .

Substituindo o valor de q na primeira equação, encontramos que:

$a_1cdot q^5 = -9sqrt{3} Leftrightarrow a_1cdot (-sqrt{3})^5 = -9sqrt{3} Leftrightarrow a_1 =1$

Dessa forma conseguimos determinar o produto pedido, sendo:

$a_2cdot a_7 = left (a_1cdot q ight ) cdot left (a_1 cdot q^6 ight ) = a_1^2cdot q^7 = (1)^2cdot(-sqrt{3})^7 = -27sqrt{3}$

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

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