Questão 31

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006 - 1 FASE ) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é e o volume do cone é π.

Então, o comprimento g da geratriz do cone é

Gabarito:

Resolução:

$frac{b}{a}=frac{3}{2}$

$V_{Cone}=frac{1}{3}cdot S_{Base}cdot H$

$S(Base_{Circulo})=pi cdot (frac{a}{2})^2$

$H=b$

Portanto:

$V_{Cone}=frac{1}{3}cdot S_{Base}cdot H$

$V_{Cone}=frac{1}{3}cdot pi cdot frac{a^2}{4}cdot b$

$V_{Cone}=frac{pi cdot a^2cdot b}{12}$

Só que foi dito que o volume do cone é $pi$

Daí vem:

$pi =frac{pi cdot a^2cdot b}{12}$

$frac{b}{a}=frac{3}{2}$

Podemos escrever da seguinta maneira:

$frac{2}{3}=frac{a}{b}$

E mutiplicar pela equação que queremos calcular.

$frac{2}{3}pi =frac{pi cdot a^2cdot b}{12}cdot frac{a}{b}$

$a^3=8$

$a=2$

Como foi dito que:

$frac{2}{3}=frac{a}{b}$

vem:

$b=3$

Temos também que:

$g^2=(frac{a}{2})^2+b^2$

$g=sqrt{(frac{a}{2})^2+b^2}$

$g=sqrt{1^2+3^2}$

$g=sqrt{10}$

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