Questão 9

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:

$left{egin{matrix}x+( cos^2 a)y + (sin^2a)z=0 \ x+( cos^2 b)y + (sin^2b)z=0 \ quad quad ( cos^2 c)y + (sin^2c)z=0 end{matrix} ight.$

a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear.

b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais?

c) Calcule as soluções do sistema quando sen²a=1 e cos²c=1/5.

Gabarito:

Resolução:

$a)$ O determinante da matriz dos coeficientes:

$=sen^{2}c+sen^{2}a-sen^{2}c-sen^{2}b=sen^{2}a-sen^{2}b$

$b)$ O sistema irá admitir solução não trivial se, e somente se, $sen^{2}a-sen^{2}b=0Leftrightarrow sena=pm senbLeftrightarrow b=a+npi$ ou $b=-a+npi$ , com $n, epsilon , mathbb{Z},$ e $c$ qualquer.

$c)$ Quando $sen^{2}a=1$ e $cos^{2}c=frac{1}{5}$ tem-se $cos^{2}a=0$ e $sen^{2}c=frac{4}{5}$ . O sistema passa a ser:

Da equação (II) teremos que:

$-z+(cos^{2}b)(-4z)+(sen^{2}b)z=0$ $Leftrightarrow (-1-4cos^{2}b+sen^{2}b).z=0Leftrightarrow -5cos^{2}b.z=0$

Se $cos^{2}b eq 0$ então $z=0,x=0$ e $y=0$

Se $cos^{2}b=0$ , logo z é qualquer e a solução será do tipo: $(-alpha ;-4alpha ;alpha )forall alpha$

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