Questão 9

FUVEST 2005

Física

(FUVEST - 2005 - 2 FASE) Um determinado aquecedor elétrico, com resistência R constante, é projetado para operar a 110 V. Pode-se ligar o aparelho a uma rede de 220 V, obtendo os mesmos aquecimento e consumo de energia médio, desde que haja um dispositivos que o ligue e desligue, em ciclos sucessivos, como indicado no gráfico:

Nesse caso, a cada ciclo, o aparelho permanece ligado por 0,2s e desligado por um intervalo de tempo Δt, determine

a) A relação $Z_1$ entre as potências $P_{220}$ e $P_{110}$ , dissipadas por esse aparelho em 220V e 110V, respectivamente, quando está continuamente ligado, sem interrupção.

b) O valor do intervalo Δt, em segundos, em que o aparelho deve permanecer desligado 220V, para que a potência média dissipada pelo resistor nessa tensão seja a mesma que quando ligado continuamente em 110V.

c) A relação $Z_2$ entre as correntes médias $I_{220}$ e $I_{110}$ , que percorrem o resistor quando em redes de 220 V e 110 V, respectivamente, para a situação do item anterior.

Gabarito:

Resolução:

Sabemos que a potência pode ser escrita da seguinte maneira:

$P= frac{V^2}{R}$

As resistências são iguais para os dois casos logo Z₁ pode ser obtido fazendo a seguinte operação:

$Z_1 = frac{frac{220^2}{R} }{frac{110^2}{R} } = 4$

Temos os tempo de atuação da potência de 220 igual a:

$Delta t _{220}= 0,2s$

Enquanto o tempo de atuação da potência de 110 seria o tempo total do ciclo, ou seja:

$Delta t _{110}= 0,2+ Delta t$

Como a potência dissipada é a mesma, podemos dizer que a energia dissipada é igual para os dois casos:

$E_{220}= E_{110}$

E sabemos que a potência pode ser escrita da seguinte maneira:

$P frac{E}{Delta t}Rightarrow E= P. Delta t$

Substituindo na nossa relação de energia e os respectivos temos temos:

$P_{220}. 0,2 = P_{110}.(0,2+Delta t)$

Pela primeira alternativa sabemos que a razão de P₂₂₀por P₁₁₀ é igual a 4 logo:

$4. 0,2 = 0,2+Delta tRightarrow 0,8=0,2 + Delta t Rightarrow Delta t = 0,6 s$

Aqui não podemos usar a relação que P = V.i isso porque no caso da potencia de 220 a corrente não é contínua durante todo o período, com isso essa relação não fica válida, então vamos para a definição de corrente:

$i_{media} = frac{Q}{Delta t_{ciclo}}$

Ou seja é a carga total dividia pelo tempo total do ciclo , porém sabemos que no trecho de 0,2s a corrente é constante então a primeira lei de Ohm vale para esse pequeno período: com isso podemos fazer a seguinte manipulação na fórmula de cima:

$i_{media} = frac{i.Delta t _{220}}{Delta t_{ciclo}}$

Perceba que os tempos não vão se anular resultando que i_media= i isso porque o tempo total do ciclo (0,8s) é diferente do tempo em que existe corrente (0,2s), como nesse tempo de 0,2 a corrente é constante nesse itnervalo vale a primeira lei de Ohm, resultando que:

$i = frac {V_{220}}R$