Questão 28

FUVEST 2004

Matemática

(FUVEST - 2004 - 1a fase)

Uma matriz real A é ortogonal se $AA^t = I$ , onde $I$ indica a matriz identidade e $A^t$ indica a transposta de $A$ . Se $A=egin{bmatrix} frac{1}{2} & x\ y&z end{bmatrix}$ é ortogonal, então $x^2+y^2$ é igual a:

$frac{1}{4}$

$frac{sqrt3}{4}$

$frac{1}{2}$

$frac{sqrt3}{2}$

$frac{3}{2}$

Gabarito:

$frac{3}{2}$

Resolução:

Temos que:

$A . A^{t} = I$

$egin{bmatrix} frac{1}{2} & x \ y& z end{bmatrix} . egin{bmatrix} frac{1}{2} & y\ x & z end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 &0 \ 0& 1 end{bmatrix}$

$egin{bmatrix} frac{1}{4}+x^{2} & frac{1}{2}y + xz\ frac{1}{2}y + xz & y^{2}+z^{2} end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 &0 \ 0& 1 end{bmatrix}$

Temos:

$\ frac{1}{4} + x^{2} = 1 \ x^{2} = frac{3}{4}$ (1)

________________

$\ frac{1}{2} y + xz = 0 \ \ frac{1}{2}y = -xz$ (2)

_________

$y^{2} + z^{2} = 1$ (3)

______

Pegando a equação 3 e substituindo na 2, temos:

$y^{2} = 4. frac{3}{4} (1-y^{2}) \ \$

Portanto, temos:

$\ x^{2} = frac{3}{4} e y^{2} = frac{3}{4 } \ \ x^{2} + y^{2} = frac{3}{2}$

Gabarito: E

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