Questão 10

FUVEST 2004

Matemática

(FUVEST - 2004 - 2ª fase - Questão 10) No sólido S representado na figura abaixo, a base ABCD é um retângulo de lados $AB=2lambda$ e $AD=lambda$ , as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento $overline{EF}$ tem comprimento $lambda$ .

Determinar, em função de $lambda$ , o volume de S.

Gabarito:

Resolução:

O sólido S pode ser decomposto em dois novos sólidos:

Uma pirâmide, cuja base é um quadrado de lado , e cuja altura h é a distância entre a aresta EF e o plano do retângulo ABCD.
Um prisma oblíquo de aresta lateral l ,cuja secção reta é um triângulo isósceles de lados congruentes com medida $a = frac{lsqrt{3}}2{}$ e altura h

Com isso, temos:

$\ h = (frac{lsqrt{3}}{2})^{2} = (frac{l}{2})^{2} \ \ h = frac{lsqrt{2}}{2}$

Então seu volume é dado por:

$V = frac{1}{3} . l^{2} . frac{lsqrt{2}}{2} +frac{ l frac{lsqrt{2}}{2}}{2}. l \ \ V = frac{l^{3}sqrt{2}}{6} + frac{l^{3}sqrt{2}}{4} = frac{5sqrt{2}l^{3}}{12}$

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