Questão 5

FUVEST 2004

Matemática

(FUVEST - 2004 - 2ª fase - Questão 5) O produto de duas das raízes do polinômio $p(x)=2x^{3}-mx^{2}+4x+3$ é igual a -1. Determinar

a) o valor de m.

b) as raízes de p.

Gabarito:

Resolução:

Vamos chamar de R = {a, b , c} o conjunto raízes da equação:

$p(x)=2x^{3}-mx^{2}+4x+3$

e ab = -1, portanto:

$\ a.b.c = -frac{3}{2} \ \ ab = -1 \ \ c = frac{3}{2}$

ab + ac + bc = 2

ab + c (a + b) = 2

-1 + 3/2 (a+b) = 2

a+b = 2

a + b + c = m/2

2 + 3/2 = m/2

m = 7

$a+ b = 2 \ \ a.b = - 1$

$\ x^{2} - 2x - 1 = 0 \ \ x = 1 pm sqrt{2}$

Portanto,

$R = {(1-sqrt{2}), (1+sqrt{2}), frac{3}{2}}$

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