Questão 4

FUVEST 2004

Matemática

(FUVEST - 2004 - 2ª fase - Questão 4) Considere a equação $z^{2}=alpha z+(alpha-1)ar{z}$ , onde $alpha$ é um número real e $ar{z}$ indica o conjugado do número complexo z.

a) Determinar os valores de $alpha$ para os quais a equação tem quatro raízes distintas.

b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando $alpha=0$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Temos z = x + yi , com x e y reais , portanto:

$\ z^{2} = alpha z + (alpha -1)ar{z} \ \ (x+yi)^{2} = alpha (x+yi) + (alpha -1) (x-yi) \ \ x^{2} + 2xyi - y^{2} = alpha x + alpha yi + alpha x - alpha yi - x + yi \ \ x^{2} -y^{2} + 2xyi = (2alpha -1)x + yi \ \$

Portanto, temos duas equações:

I) $x^{2} - y^{2} = (2 alpha -1) x \ \$

II)

$\ 2xy = y \ \ y = 0 ou x = frac{1}{2}$

Para y = 0, temos:

$x^{2} = (2alpha -1)x \ \ x^{2} - (2alpha -1)x = 0 \ \$

Portanto, admite duas raízes distintas se :

$\ (2alpha -1) eq 0 \ \ alpha eq frac{1}{2}$

Para x = 1/2, temos:

$\ (frac{1}{2})^{2} -y^{2} = (2alpha -1). frac{1}{2} \ \ frac{1}{4} -y^{2} = alpha - frac{1}{2} \ \ y^{2} = frac{3}{4}- alpha$

Veja que só admite duas raízes distintas se :

$\ frac{3}{4} - alpha > 0 \ \ alpha < frac{3}{4}$

Com isso, temos:

$alpha < frac{3}{4} \ \ e alpha eq frac{1}{2}$

Temos que as quatro raízes serão:

$\ z_{1}= 0 \ \ z_{2} = 2 alpha -1 \ \ z_{3} = frac{1}{2} + i sqrt{frac{3}{4}-alpha} \ \ z_{4} = frac{1}{2} -isqrt{frac{3}{4}- alpha }$

b) $alpha = 0$

Se as raízes z1 = 0 = (0,0)

$\ z_{2} = -1 = (-1,0) \ \ z_{3} = frac{1}{2 } + frac{sqrt{3}}{2}i = (frac{1}{2} , frac{sqrt{3}}{2}) \ \ z_{4} = frac{1}{2}- frac{sqrt{3}}{2} i = (frac{1}{2}, frac{- sqrt{3}}{2})$

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