Questão 3

FUVEST 2004

Matemática

(FUVEST - 2004 - 2ª fase - Questão 3 ADAPTADA) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4e AC = 2. Sejam M e N os pontos de $overline{AB}$ tais que $overline{CM}$ é a bissetriz relativa ao ângulo $Ahat{C}B$ e $overline{CN}$ é a altura relativa ao lado $overline{AB}$ . Determinar o comprimento de $overline{MN}$ .

$frac{50}{30}$

$frac{13}{10}$

$frac{11}{30}$

Gabarito:

$frac{11}{30}$

Resolução:

Pelo teorema das bisstrizes podemos escrever:

$frac{4}{5-m}=frac{2}{m}$

$4m=10-2m$

$6=10$

$m={color{Red} frac{5}{3}}$

$5-m={color{Red} frac{10}{3}}$

Daí podemos escrever:

$h^2=4-left ( frac{5}{3}-x ight )^2$

$h^2=16-left ( frac{10}{3}+x ight )^2$

Logo:

$4-left ( frac{5}{3}- x ight )^2=16-left ( frac{10}{3} +x ight )^2$

$4-left ( frac{25}{9}-frac{10}{3}cdot x+x^2 ight )=16-left ( frac{100}{9}+frac{20}{3}cdot x +x^2 ight )$

$4-frac{25}{9}+frac{10}{3}cdot x=16-frac{100}{9}-frac{20}{3}cdot x$

$frac{11}{9}+frac{10}{3}cdot x=frac{44}{9}-frac{20}{3}cdot x$

${color{Red} x=frac{11}{30}}$

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