Questão 8

FUVEST 2003

Matemática

(FUVEST - 2003 - 2 FASE ) Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária ( $i^{2} = -1$ ). Suponha z ≠ i .

a) Para quais valores de z tem-se $frac{z+i}{1+iz} = 2$ ?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os quais $frac{z+i}{1+iz}$ é um número real.

Gabarito:

Resolução:

$frac{z+i}{1+iz} = 2 \ \ z + i = 2 + 2iz \ \ z - 2iz = 2 - i \ \ z (1-2i ) = 2 -i \ \ z = frac{2-i}{1-2i} . frac{1+2i}{1+2i} = frac{4+3i}{5} \ \ z = frac{4}{5} + frac{3}{5}i$

Se z = x + yi, e sendo que x e y pertence ao reais, temos:

$\ frac{z+i}{1+iz} = frac{x+yi + i }{1+i(x+yi)} = frac{x+(y+1)i}{1-y+xi} \ \ frac{x+(y+1)i}{(1-y)+xi}. frac{(1-y)-xi}{(1-y)-xi} \ \ frac{x(1-y)-x^{2}i +(y+1)(1-y)i + (y+1)x}{(1-y)^{2}+x^{2}}$

$\ frac{2x -(x^{2}+y^{2} -1)i}{(1-y)^{2} + x^{2} } \ \ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \ \ x^{2} + y^{2} = 1 \ \$

É o conjunto de todos os pontos de uma circunferência de centro na origem e raio igual a 1, que pode ser indicado por |z| = 1.

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