Questão 83

FUVEST 2003

Matemática

(FUVEST - 2003 - 1a Fase) As soluções da equação

$small frac{x-a}{x+a}+frac{x+a}{x-a}=frac{2left(a^4+1 ight )}{a^2left(x^2-a^2 ight )}$ , onde $small a$ é diferente de zero, são:

$small frac{-a}{2}$ e $small frac{a}{4}$ .

$small frac{-a}{4 }$ e $small frac{a}{4}$ .

$small frac{-1}{2a}$ e $small frac{1}{2a}$ .

$small frac{-1}{a}$ e $small frac{1}{2a}$ .

$small frac{-1}{a}$ e $small frac{1}{a}$ .

Gabarito:

$small frac{-1}{a}$ e $small frac{1}{a}$ .

Resolução:

$frac{x-a}{x+a} + frac{x+a}{x-a} = frac{2(a^{4} + 1)}{a^{2}(x^{2}-a^{2})}$

Somando as frações do primeiro membro, temos:

$frac{(x-a)^{2} + (x+a)^{2}}{(x^{2}-a^{2})} = frac{2(a^{4}+1)}{a^{2}(x^{2} -a^{2})}$

Iremos cancelar o denominador:

$(x-a)^{2} + (x+a)^{2} = frac{2(a^{4}+1)}{a^{2}}$

$\ x^{2} -2ax + a^{2} + x^{2} + 2ax + a^{2} = frac{2(a^{4}+1)}{a^{2}} \ \ 2x^{2} + 2a^{2} = frac{2(a^{4}+1)}{a^{2}} \ \ 2(x^{2} + a^{2} ) = frac{2(a^{4}+1)}{a^{2}} \ \ (x^{2} + a^{2} ) = frac{(a^{4}+1)}{a^{2}}$

$x^{2} = frac{(a^{4}+1)}{a^{2}} - a^{2}$

$x^{2} = frac{(a^{4}+1-a^{4})}{a^{2}}$

$x^{2} = frac{1}{a^{2}}$

$x = pm sqrt{frac{1}{a^{2}}}$

Gabarito: E

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