Questão 86

FUVEST 2003

Matemática

(FUVEST - 2003) No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:

Gabarito:

Resolução:

Outra forma de resolver:

Vamos analisar somente o comprimento dos seguimentos horizontais que formam a poligonal. Do enunciado sabemos que todos os seguimentos têm seus tamanhos formando uma P.G, sendo assim, para os seguimentos horizontais temos os seguintes comprimentos:

Note que, $1, ,q^2,,q^4,,q^6,,q^8, ,q^{10}, ,q^{12}, ext{e} ,q^{14}$ formam uma P.G finita de razão $q^2$ . Como o abscissa x muda de acordo com a variação dos termos dessa P.G, então devemos consirar que ela parte do 1, retorna em $q^2$ , depois avança $q^4$ e assim por diante, chegando na expressão:

$1-q^2+q^4-q^6+q^8-q^{10}+q^{12}-q^{14}$

Com isso, temos a soma de uma P.G finita de 8 termos e razão $-q^2$ . Aplicando a formula da soma da P.G:

$x_B=a_1frac{(q^n-1)}{q-1}$

$x_B=1frac{((-q^2)^8)}{-q^2-1}$

$x_B=frac{q^{16}-1}{-q^2-1}$

$x_B=frac{1-q^{16}}{1+q^2}$

Portanto, a alternatia correta é alternativa D

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