Questão 4

FUVEST 2003

Física

(FUVEST - 2003 - 2 FASE ) Alienígenas desejam observar o nosso planeta. Para tanto, enviam à Terra uma nave N, inicialmente ligada a uma nave auxiliar A, ambas de mesma massa. Quando o conjunto de naves se encontra muito distante da Terra, sua energia cinética e sua energia potencial gravitacional são muito pequenas, de forma que a energia mecânica total do conjunto pode ser considerada nula. Enquanto o conjunto é acelerado pelo campo gravitacional da Terra, sua energia cinética aumenta e sua energia potencial fica cada vez mais negativa, conservando a energia total nula. Quando o conjunto N-A atinge, com velocidade $V_0$ (a ser determinada), o ponto P de máxima aproximação da Terra, a uma distância $R_0$ de seu centro, um explosivo é acionado, separando N de A. A nave N passa a percorrer, em torno da Terra, uma órbita circular de raio $R_0$ , com velocidade $V_n$ (a ser determinada). A nave auxiliar A, adquire uma velocidade $V_a$ (a ser determinada). Suponha que a Terra esteja isolada no espaço e em repouso.

Determine, em função de M, G e $R_0$ ,

a) a velocidade $V_0$ com que o conjunto atinge o ponto P.

b) a velocidade $V_n$ , de N, em sua órbita circular .

c) a velocidade $V_a$ de A, logo após se separar de N.

Gabarito:

Resolução:

a) Usando-se a conservação de energia mecânica do sistema formado pelas duas naves, antes da explosão, entre o ponto muito afastado (infinito) e o ponto P, vem:

$E_{infty } = E_{p}$

$\ 0 = frac{-GM2m}{R_{0}} + frac{2m}{2}V_{0}^{2} \ \ frac{V_{0}^{2}}{2} = frac{GM}{R_{0}} \ \ V_{0} = sqrt{frac{2GM}{R_{0}}}$

b) A nave em órbita circular e movimento uniforme em torno do centro da Terra, temos:

$\ F_{G}= F_{cp} \ \ frac{GMm}{R_{0}^{2}} = frac{mV_{n}^{2}}{R_{0}} \ \ V_{N} = sqrt{frac{GM}{R_{0}}}$

c) Na hora da explosão o sistema é isolado, e com isso a conservação da quantidade de movimento total do sistema é:

$\ Q_{apos} = Q_{antes} \ \ mV_{N} + mV_{A} = 2mV_{0} \ \ V_{A} = 2V_{0} -V_{N} \ \ V_{A} = 2 sqrt{frac{2GM}{R_{0}}} - sqrt{frac{GM}{R_{0}}} \ \ V_{A} = (sqrt{8}-1)sqrt{frac{GM}{R_{0}}}$

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