Questão 46

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 1a fase)

A soma das raízes da equação $sen^2{x} - 2cos^4{x} = 0$ , que estão no intervalo [0,2π], é:

2π

3π

4π

6π

7π

Gabarito:

4π

Resolução:

Podemos manipular um pouco a expressão:

$\1-cos^2x-2cos^4x=0\ 2cos^4x+cos^2x-1=0$

E resolver para cos² por Bhaskara:

$Delta=1-4(2)(-1)=9\\ frac{-1pm3}{4} ightarrow left{egin{matrix} cos^2x=-1(N ilde{a}o; convacute{e}m)\cos^2x=frac{1}{2} end{matrix} ight.$

Assim temos que cosseno de x é:

$cos(x)=sqrt{frac{1}{2}} ightarrow pmfrac{sqrt2}{2}$

Os arcos possíveis são:

$x=frac{pi}{4},frac{3pi}{4},frac{5pi}{4},frac{7pi}{4}$

A soma das possíveis raízes é:

$frac{pi}{4}+frac{3pi}{4}+frac{5pi}{4}+frac{7pi}{4}=frac{16pi}{4}=4pi$

$oxed{Resposta: Letra; C}$

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