Questão 51515

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE)

Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura $20sqrt{3}$ cm , com $frac{2}{3}$ de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30º com o solo (ver seção lateral abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.

Gabarito:

Resolução:

Podemos fazer:

Ao encontrarmos CE, podemos encontrar h por meio de relações trigonométricas.

Calculando o volume da área cheia:

$V=frac{2}{3}cdot 4cdot4cdot 20sqrt3=frac{640sqrt3}{3}$

Esse volume é o mesmo do trapézio CDGE.

Calculando FE:

$tg60^circ=sqrt{3}=frac{FG}{FE} ightarrow sqrt{3}=frac{4}{FE} ightarrow FE=frac{4sqrt{3}}{3}$

O volume do trapézio CDGE é:

$V_{CDGE}=frac{4cdot4cdot (DG+CE)}{2}=frac{640sqrt3}{3}$

Manipulando isso:

$DG+CE=frac{80sqrt3}{3}$

Podemos escrever DG como CE-FE, assim:

$CE-FE+CE=frac{80sqrt3}{3} ightarrow 2CE-frac{4sqrt3}{3}=frac{80sqrt3}{3} ightarrow CE=frac{42sqrt3}{3}$

$CE=12sqrt3$

Encontrando h usando a tangente de 60:

$sen60^circ=frac{sqrt3}{2} ightarrow frac{h}{CE}=frac{sqrt3}{2} ightarrow h=frac{sqrt3}{2}cdot CE\\ h=frac{sqrt3}{2}cdot14sqrt3 ightarrow h=frac{14cdot3}{2}=21$

$oxed{Resposta:h=21cm}$

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