Questão 51500

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) Determine as soluções da equação (2 cos²x + 3 sen x)(cos² x - sen² x) = 0 que estão no intervalo [0,2π] .

Gabarito:

Resolução:

Para este caso temos as duas seguintes possibilidades:

$\2cos^2(x)+3sen(x)=0\ cos^2(x)-sen^2(x)=0$

Vamos analisar cada uma:

$\2(1-sen^2(x))+3sen(x)=0\ 2-2sen^2(x)+3sen(x)=0 ightarrow 2sen^2(x)-3sen(x)-2=0\ Delta=9-4(2)(-2)=25\\ frac{3pmsqrt{25}}{4}left{egin{matrix} sen(x)_1=2\sen(x)_2=frac{-1}{2} end{matrix} ight.$

Seno de x igual a 2 não convém, logo podemos descartar.

Vamos a outra possibilidade:

$\sen^2(x)-cos^2(x)=0\sen^2(x)=cos^2(x)\\tg^2(x)=1\tg(x)=pm1$

Os arcos possíveis para x dentro do intervalo são:

$x=frac{7pi}{6},frac{11pi}{6},frac{pi}{4},frac{3pi}{4},frac{5pi}{4},frac{7pi}{4}$

$oxed{Resposta:x=frac{7pi}{6},frac{11pi}{6},frac{pi}{4},frac{3pi}{4},frac{5pi}{4},frac{7pi}{4}}$

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