Questão 51496

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) O triângulo retângulo ABC , cujos catetos $overline{AC}$ e $overline{AB}$ medem 1 e $sqrt{3}$ , respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado $overline{AB}$ . Seja $overline{MN}$ o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que $widehat{NDB}$ é reto, determine

a) o comprimento dos segmentos $overline{CN}$ e $overline{CM}$ ;

b) a área do triângulo CMN .

Gabarito:

Resolução:

a) Por Pitágoras podemos afirmar que BC mede 2, com isso podemos calcular o ângulo em C:

$cos(alpha)=frac{AC}{BC}=frac{1}{2} ightarrow alpha=60^circ$

Temos que então que o ângulo em C é igual ao ângulo em D do triângulo NDM, e podemos notar que os pontos CNDM formam um losango de lado x. Com as demais observações, podemos fazer o seguinte:

Vemos que x é a hipotenusa do triângulo ADM, então podemos calcular x:

$sen(30^circ)=frac{1-x}{x}=frac{1}{2} ightarrow x=2-2x ightarrow x=frac{2}{3}$

Esse é o tamanho de CN e CM.

b) A área do triângulo CNM pode ser calculada como:

$A_{CNM}=frac{CNcdot CMcdot sen(60^circ)}{2} ightarrow frac{1}{2}cdot frac{2}{3}cdot frac{2}{3}cdot frac{sqrt3}{2}=frac{sqrt3}{9}$

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a)CN=CM=frac{2}{3}\b)A_{CNM}=frac{sqrt3}{9} end{matrix} ight.}$

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