Questão 51493

FUVEST 2002

Matemática

(FUVEST - 2002 - 2 FASE) As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m, onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine

a) o valor de m;

b) as raízes desse polinômio.

Gabarito:

Resolução:

a) Como é um polinômio de grau 3, teremos 3 raízes. Se as raízes estão em PA, podemos chamá-las de:

$a-r,a; e; a+r$

Usando uma das relações de Girard:

$a-r+a+a+r=frac{-b}{a} ightarrow 3a=3 ightarrow a=1$

Sendo assim temos que quando x é 1, a função é igual a 0, logo:

$p(1)=1-3+m=0 ightarrow m=2$

b) Sabendo que 1 é uma das raízes podemos tentar fatorar o polinômio:

$p(x)=(x-1)cdot a(x)$

Onde a(x) é o resultado da divisão de p(x) por (x-1). Fazendo por Briot Ruffini:

$a_n=1div 1=1\ b_n=-3div 1=-3+1=-2\ c_n=0div1=0+(-2)=-2\ d_n=2div1=2+(-2)=0$

Esse valor é: $x^2-2x-2$

Teremos então:

$p(x)=(x-1)cdot (x^2-2x-2)$

A outra expressão sendo 0 nos dá as outras duas raízes:

$\x^2-2x-2=0\ Delta=4-4(1)(-2) ightarrow 4+8=12\\ frac{2pmsqrt12}{2} ightarrow 1pmsqrt3$

Essas são as demais raízes.

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a)m=2\b)1-sqrt3,1; e; 1+sqrt3 end{matrix} ight.}$

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